Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Задачі з вищої математики на границі та похідні функції, диференціальні рівняння, інтеграли та збіжності степеневого ряду(контрольна робота)

Задача 1

Знайти границі функції, не використовуючи правило Лопіталя

а) ; б) ; в)

Рішення:

а) В даному випадку особливість має вигляд . Показник найбільшого степеня х в чисельнику і в знаменнику однаковий і дорівнює 5, тому поділимо чисельник і знаменник дробу під знаком границі на х5. Одержимо, використовуючи властивості границі:

б) В даному випадку маємо тригонометричну функцію , яку може замінити, використовуючи формулу:

, тоді

Для подальшого знаходження границь цієї потрібно скористатися таблицею основних еквівалентностей, та першою чудовою границею.

Знаючі, що , відповідно , тоді

 

в) Виключимо цілу частину з дробу:

 

Нехай , тоді Þ

Відповідь: а) 1,5; б) ; в)

Задача 2

Знайти похідні функцій

а) ; б) ; в)

Рішення:

а)

Нехай

Таким чином:

Це неявно задана функція.

Для знаходження похідної цієї функції скористаємося формулою:

Візьмемо похідну по х, вважаючи у сталою, потім навпаки, візьмемо похідну по у, вважаючи х сталою:

У нашому випадку маємо функцію, яка задана параметрично

Для знаходження похідної цієї функції скористаємося формулою:

Знайдемо похідні:

Відповідь: а) ; б) ;

 

Задача 3

Дослідити функцію методом диференціального числення і побудувати її графік

Рішення:

Функція визначена і неперервна в області

В точках функція має розриви.

Функція непарна: , тому її графік симетричен відносно початку системи координат. Дослідження можна продовжити лише для .

Знайдемо однобічні границі в точці розриву

 

Отже точка є точкою розриву другого роду, а рівнянням вертикальної асимптоти буде

Будемо шукати рівняння похилої асимптоти у вигляді .

Отже рівнянням похилої асимптоти буде .

Функція перетинає осі координат в точці (0, 0).

Для пошуку інтервалів монотонності та екстремумів функції потрібно розрахувати першу похідну цієї функції.

При похідна не існує, але ці точки можна не розглядати тому, що вони не належать області визначення функції.

Із умови Þ

В околі точки похідна має постійний знак: , тому ця точка не буде екстремальною.

Точку не розглядаємо тому, що обмежилися .

Залишилося дослідити критичну точку першого роду .

При маємо , а при маємо ,

Тому у точці функція має мінімум: +¥, (0, 1) - інтервал зростання, (1, ¥) - інтервал спадання.

Для дослідження характеру опуклості та точок перегину графіка функції потрібно знайти другу похідну.

Друга похідна не існує в точках , які не належать області визначення функції.

Із рівності Þ

При маємо , а при маємо , саме тому в точці (0, 0) є перегин графіку функції.

Використовуючи результати дослідження, будуємо графік функції (див. рисунок).

Рис.1. Графік функції

Задача 4

Обчислити інтеграл:

а) ; б)

Рішення:

а)

Підінтегральна функція заданого інтеграла є раціональною функцією sinx та cosx. Тому застосуємо підстановку:

та формули:

Отримаємо інтеграл від раціональної функції (після перетворення):

Подальше інтегрування використаємо метод інтегрування частинами за формулою:

Нехай

Тоді:

Звідки маємо:

б)

Нехай , . Тоді

, (взяли лише первісну)

За формулою інтегрування частинами

Одержимо наступне:

Відповідь: а) ;

б)

Задача 5

Застосувати визначений інтеграл для обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями: ; та

Рішення:

 

Зробимо креслення цих ліній.

С

А

В

Необхідно знайти площу фігури АСВ із координатами: А(0;0), С(0;0,66), В(0,66;1,2).

Отже, площа фігури АСВ буде знайдена за формулою:

Відповідь:

Задача 6

Знайти частинні похідні функцій двох змінних:

Рішення:

Знайдемо частинні похідні першого порядку.

, де ; - тому що це похідна від цих двох функцій двох змінних..

Знаємо, що

Відповідно:

Частинна похідна по змінній х:

Частинна похідна по змінній у:

Відповідь: ;

Задача 7

а) ; б) при ;

Рішення:

а)

Запишемо це рівняння у вигляді:

Це диференціальне рівняння першого порядку з подільними змінними. Для його вирішення потрібно звести його до рівняння з відокремленими змінними. Для цього обидві частини цього рівняння поділимо на . Отримали наступне:

. Інтегруємо отримане рівняння.

, де ;

Знайдемо загальний інтеграл як суму С1 + С2

Щоб позбутися квадратного кореня, позначимо:

Розв'яжемо це рівняння відносно у:

Відповідно:

Помножимо обидві частини на 2, отримаємо:

Таким чином, кінцеве рівняння буде мати вигляд:

б) при ;

Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти. Для знаходження загального розв'язку треба знайти загальний розв'язок у0 однорідного рівняння та частинний розв'язок неоднорідного рівняння уЧ. Для цього використаємо формулу:

Для розв'язку цього прикладу потрібно це рівняння записати у вигляді:

Спочатку знайдемо загальний розв'язок диференціального рівняння:

Характеристичним рівнянням для однорідного рівняння буде:

Коренями цього рівняння будуть числа:

Þ

Одержали два дійсних різних кореня характеристичного рівняння, тому загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння буде:

Права частина неоднорідного рівняння за умовою , тому уч будемо шукати у вигляді:

Знайдемо ці коефіцієнти b0, b1, b2 методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього знаходимо першу та другу похідну .

;

Підставимо , та у ліву частину рівняння :

Прирівнюючи коефіцієнти при одноковому степені х зліва та справа, одержимо:

 

 

Підставимо знайдені коефіцієнти у формулу :

Отже, загальним розв'язком диференціального рівняння буде:

 

Тепер розв'яжемо задачу Коші.

Використовуючи початкові умови задачі Коші при , одержимо:

(Відповідь: а)

б) =

Задача 8

Знайти область збіжності степеневого ряду:

Рішення:

Як звісно, областю збіжності степеневого ряду є інтервал (-R;R) до якого можуть бути приєднанні точки x = -R; x = R.

Даний ряд є неповним, саме тому до нього застосовуємо ознаку Даламбера: якщо , то при R< 1 ряд сходиться, при R< 1 ряд розходиться, при R = 1 спостерігається невизначеність.

Знаючи п - член ряду, знаходимо наступний за ним (п+1) - член ряду, міняючи у вираженні п - члену п через п+1.

 

При ряд збігається. Звідси випливає, що , а інтервалом збіжності буде (-9; 9).

Відповідь: , інтервал збіжності (-9; 9).





Реферат на тему: Задачі з вищої математики на границі та похідні функції, диференціальні рівняння, інтеграли та збіжності степеневого ряду(контрольна робота)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.