Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Задачі з вищої математики. Методи Гауса, многочлен Лагранжа, формули Ньютона, Сімпсона та ін. (шпора)

1. Постановка задачі чисельного розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим. Відокремлення коренів. 1

2. Методи уточнення коренів. 2

3. Прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса (схема з вибором головного елемента). 3

4. Матрична форма методу Гауса з вибором головного елемента. 3

5. Застосування методу Гаусса для обчислення оберненої матриці та визначника. 5

6. Розкладання матриці на множники (метод квадратних коренів). 5

7. Постановка задачі наближення функцій. Канонічний поліном. 5

8. Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Похибка інтерполяційної формули Лагранжа. Мінімізація оцінки похибки інтерполяції. 6

9. Поліноми Чебишева. Інтерполяція з кратними вузлами. Поліноми Ерміта. 7

10. Інтерполяційні формули Ньютона. Похибки інтерполяційних формул Ньютона. 8

11. Формули чисельного диференціювання, одержані на основі формули Лагранжа. (Формули чисельного диференціювання, одержані на основі першої формули Ньютона. Залишкові члени формул чисельного диференціювання. Форм диференціювання для практичних обчислень.). 9

12. Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона-Котеса. 10

13. Формули прямокутників, трапецій, Сімпсона. Практичні способи оцінювання похибки інтегрування. Правило Рунне. Інтерполяція за Річардсоном. 11

Відповіді:

1. Постановка задачі чисельного розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим. Відокремлення коренів.

Нехай потрібно розв'язати нелінійне рівняння , (1)

де функція визначена і неперервна. Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (1) назив. трансцендентним. Розв'язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень х, при яких рівняння (1) перетвориться в 0.

Розв'язуються так:

– відокремлення коренів, знаходження інтервалів, що містять лише один корінь

– уточнення коренів, тобто обчислення коренів із заданою точністю.

Відокремлення коренів здійснюється графічно. Для цього будується графік функції . Точки перетину графіка з віссю ОХ і є коренями рівняння. Часто рівняння (2.1) записують у вигляді і будують графіки функцій і потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Інколи для відокремлення коренів можна скористатись табличним методом. Він полягає в знаходженні послідовності значень функції з певним кроком і виявлені зміни знака в значення членів послідовності.

2. Методи уточнення коренів

: поділу відрізка навпіл, простої ітерації та його модифікації; їх геометрична інтерпретація, збіжність та оцінка похибки. Метод Ньютона, хорд, комбінований; їх геометрична інтерпретація, збіжність та оцінка похибки. Застосування методу Ньютона для кратних коренів та знаходження екстремальних точок функції

Метод поділу відрізку навпіл передбачає послідовне обчислення значень функції в ряді точок. Перед використанням методу необхідно визначити відрізок, який містить лише один корінь рівняння. Для пошуку такого відрізку можна скористатись графічним способом.

У випадку єдиного кореня на вказаному відрізку буде виконуватись умова .(2)

 

Метод простої ітерації полягає в тому, що рівняння (1) записують у канонічному вигляді: , а ітерації здійснюються за правилом , де початкове наближення задається з відрізка , який містить корінь рівняння.

Метод Ньютона. Для прискорення збіжності ітераційного процесу методу простої ітерації (2.6) функцію можна вибрати у вигляді .

Для побудови ітераційної формули методу хорд запишемо рівняння прямої (хорди), яка проходить через дві точки і :

Поклавши в одержаному рівнянні , дістанемо формулу для обчислення наближень за методом хорд вигляду: , де – нерухома точка.

 

Був розроблений метод (комбінаційний), який об'єднав обидва підходи в методах хорд і дотичних. Процес закінчується, коли

формулу методу Ньютона для кратних коренів, яка має вигляд ,

для обчислення екстремальних значень ітераційна формула набуває вигляду: ,

3. Прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса (схема з вибором головного елемента).

Прямий хід методу Гаусса. Нехай . Розділимо усі коефіцієнти першого рівняння системи на коефіцієнт . Спочатку до другого рівняння додамо перше, помножене на , а потім до третього рівняння додамо перше, помножене на і т.д. В результаті одержимо системи рівнянь вигляду

4. Матрична форма методу Гауса з вибором головного елемента

Перетворені початкової матриці до трикутної, на діагоналі у якої стоять одиниці

Спочатку розглянемо перший варіант. Для простоти викладок розглянемо систему , що складається з трьох рівнянь:

.

Вилучення невідомого з двох останніх рівнянь системи (13) здійснюється виконанням множення системи зліва на елементарну нижню трикутну матрицю вигляду

.а тоді => .

Перепишемо її у вигляді

і виконаємо другий крок методу Гаусса, тобто вилучимо невідоме з останнього рівняння. .

У результаті отримаємо систему рівнянь

. (13)

Нарешті, помноживши (14) на матрицю

,одержимо систему у якої матриця є верхньою трикутною матрицею з одиничною головною діагоналлю. У розгорнутому вигляді ця система має вигляд .

Формально метод Гаусса з вибором головного елемента по рядках можна реалізувати, використовуючи матриці перестановок, які визначаються таким чином по , , .

5. Застосування методу Гаусса для обчислення оберненої матриці та визначника.

Необхідно знайти матрицю , яка є оберненою до матриці А, тобто мають місце рівності: , де Е – одинична матриця. Тоді можемо записати матричну рівність

6. Розкладання матриці на множники (метод квадратних коренів).

Метод квадратних коренів використовується для розв'язання систем лінійних рівнянь з симетричними додатними матрицями. У цьому випадку матрицю А можна представити у вигляді добутку двох транспонованих між собою трикутних матриць , тобто

.

7. Постановка задачі наближення функцій. Канонічний поліном.

Найпростіша задача інтерполювання полягає в наступному. На відрізку задані точки , які називаються вузлами інтерполювання, і значення деякої функції в цих точках . Потрібно побудувати інтерполяційну функцію , яка належить відомому класу і яка у вузлах інтерполювання приймає ті ж самі значення, що і функція : ,

а в інших точках відрізка , що належать області визначення функції , наближено зображувала функцію з тією чи іншою точністю. Будемо шукати інтерполяційну функцію у вигляді канонічного полінома степені : ,

де – деякі постійні коефіцієнти, які потрібно визначити з певних умов. У випадку побудови канонічного полінома, коефіцієнти , визначаються з умови , , яка зводиться до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Визначник системи (4) , який називають визначником Вандермонда не перетворюється на нуль

 

для розв'язання зад.

8. Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Похибка інтерполяційної формули Лагранжа. Мінімізація оцінки похибки інтерполяції.

Інтерполяційний многочлен шукатимемо у вигляді:

де – многочлен степеня , що у вузлах інтерполяції задовольняє умови:

Даний варіант запису многочлена називають інтерполяційним многочленом Лагранжа. Для пошуку знаходять многочлен степеня , що перетворюється в нуль у вузлах інтерполяції , і дорівнює одиниці в точці . Многочлен, що задовольняє ці вимоги, може бути записаний у вигляді:

. (8)

Підставивши вираз для у формулу (7), дістанемо вираз інтерполяційного многочлена

, (9)

який називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записати компактніше. Для цього введемо многочлен -го степеня вигляду .

Продиференціювавши по цей добуток, дістанемо:

.

Поклавши тут , матимемо

. (14)

Підставивши (13) і (14) в (9), знайдемо

. (15)

Похибка інтерполяційної формули Лагранжа

Теорема. Якщо вузли інтерполювання різні і належать відрізку , а функція диференційована раз на відрізку , то для будь-якої точки існує така точка , що для похибки інтерполювання справедлива рівність

,де .

Якщо ввести позначення , тоді для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа в поточній точці , дістанемо оцінку

а на всьому відрізку :

.

9. Поліноми Чебишева. Інтерполяція з кратними вузлами. Поліноми Ерміта.

Многочлени Чебишева , на відрізку визначаються формулою

. (20)

При маємо: .

Далі із тотожності або

при одержимо

(21)

Покладаючи в (21) т.д., знаходимо:

Чебишев довів, що величина має найменше значення, якщо вузлами інтерполювання є числа , де – нулі многочлена Чебишева . Вони дійсні різні, належать інтервалу і згущаються біля кінців інтервалу.

Доведено, що за такого вибору вузлів інтерполювання

,

а оцінка (18) має вигляд

10. Інтерполяційні формули Ньютона. Похибки інтерполяційних формул Ньютона.

Скінченими різницями першого порядку називають величини, що обчислюються за формулами: Скінченими різницями другого порядку називають:

 

Розділені різниці першого порядку для у вузлах інтерполяції мають вигляд:

(26)

Розділені різниці другого порядку записують у вигляді:

(27)

Використовуючи розділені різниці, можна одержати формулу Ньютона для нерівних проміжків у вигляді:

(29)

Програма побудови матриці розділених різниць , многочлен Ньютона

 

залишковий член інтерполяційної формули Ньютона збігатиметься з залишковим член інтерполяційної формули Лагранжа. Отже, .

11. Формули чисельного диференціювання, одержані на основі формули Лагранжа. (Формули чисельного диференціювання, одержані на основі першої формули Ньютона. Залишкові члени формул чисельного диференціювання. Форм диференціювання для практичних обчислень.)

Формули чисельного диференціювання, побудовані за інтерполяційною формулою Ньютона.

В обчислювальній практиці зручніше користуватись іншою формулою запису многочлена Ньютона. Якщо покласти , , то , , …, , і многочлен тоді

(5)

Врахувавши, що

, ,

дістанемо:

(6)

. (7)

Поклавши в формулах (6), (7) , дістанемо:

(8)

. (9)

20. Формули чисельного диференціювання, побудовані за інтерполяційною формулою Лагранжа.

Як і в попередньому випадку, розглянемо інтерполяційний многочлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів , , . Тоді інтерполяційний поліном Лагранжа можна записати у вигляді

, де .

Якщо ввести заміну , то многочлен Лагранжа можна записати у вигляді

. (12)

Звідси, враховуючи, що , одержимо формули чисельного диференціювання:

, (13)

. (14)

12. Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона-Котеса.

Розглянемо методи, в яких , (1)

де , – сталі. Наведена формула називається квадратурною формулою, точки – вузлами квадратурної формули, а – коефіцієнтами квадратурної формули.

Як правило, рівність (1) наближена. Різницю між визначеним інтегралом і квадратурною сумою

, називають залишковим членом, або похибкою квадратурної формули .

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Котеса. Квадратурна формула Ньютона-Котеса при цьому має вигляд .

13. Формули прямокутників, трапецій, Сімпсона. Практичні способи оцінювання похибки інтегрування. Правило Рунне. Інтерполяція за Річардсоном.

Інтегрування за методом прямокутників полягає в тому, що інтервал інтегрування ділиться точками на рівних частин з кроком . для всіх покласти , де . Тоді дістанемо наближену рівність

Якщо або , або , то (11) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників. три наближені формули та їх похибки, відповідно, формули лівих, правих і середніх прямокутників:

, ; (15)

, ; (16)

, .

Узагальнені формули прямокутників одержуються з формул (15)-(17) шляхом сумування по від 0 до , а саме:

– формула лівих прямокутників, (18)

– формула правих прямокутників, (19)

– формула середніх прямокутників. (20)

Для інтегрування методом трапецій відрізок інтегрування також розбивають на рівних частин . Площу прямолінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса при (підінтегральну функцію замінюємо многочлном Лагранжа першого степеня). У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так: , (другий рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа прямолінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

,

Таким чином квадратурна формула трапецій для чисельного інтегрування має вигляд

. (26)

Для залишкового члена формули трапецій неважко дістати формулу

. (27)

Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій

. (28)

Для інтегрування методом Сімпсона відрізок інтегрування розбивають на рівних частин з кроком .

Тому площа прямолінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

. узагальнену формулу Сімпсона (парабол) у вигляді .

З попередніх викладок бачимо, що точність квадратурної формули характеризується порядком залишкового члена відносно степеня кроку інтегрування .

залишкові члени формул лівих і правих прямокутників відносно мають перший порядок: , середніх прямокутників і трапецій – другий: , а Сімпсона – четвертий: . Квадратурна формула вважається тим точнішою, чим більший порядок її залишкового члена . З розглянутих квадратурних формул найточнішою є формула Сімпсона, а найменш точними – формули лівих і правих прямокутників.

. Таку оцінку похибки квадратурної формули називають правилом Рунне. уточнене значення інтеграла

. (36)

Обчислення наближеного значення інтеграла за формулою (36) називають екстраполяцією за Річардсоном.





Реферат на тему: Задачі з вищої математики. Методи Гауса, многочлен Лагранжа, формули Ньютона, Сімпсона та ін. (шпора)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.