Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Розв'язування задач системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса - 6 варіант (контрольна робота)

завдання 1.

Задана система лінійних рівнянь:

Розв'язати її двома способами:

а) методом Крамера;

б) методом Гауса

РІШЕННЯ:

а) Розв'язання системи ЛУР методом Крамера:

Розв'язання системи ЛУР методом Гауса

Розділимо перше рівняння на 3, отримаємо:

х1 – 1,66х2 – 0,33 х3 = -0,33 (1)

Помножимо це рівняння на 4 і результат віднімемо із другого рівняння, отримаємо:

1 - 6,66х2 - 1,33х3 = -1,33 Þ 7,66х2 + 3,33х3 =-1,66

Помножимо (1) на 2 і результат віднімемо із третього рівняння, отримаємо:

1 –3,33х2 – 0,66х3 = -0,66 Þ 0,33х2 + 1,66х3 = 5,66

Отримали систему рівнянь:

Розділимо перше рівняння цієї системи на 7,66, будемо мати:

х2 + 0,43х3 =-0,21 (2)

Помножимо це рівняння на 0,33 і результат віднімемо із другого рівняння, отримаємо:

1,52х3 = 5,73 Þ х3 = 3,77

Підставивши це значення в (1) і (2), отримаємо:

х1 = -2,17; х2 = -1,85

ВІДПОВІДЬ: х1 = -2,17; х2 = 1,85; х3 = 3,77

ЗАВДАННЯ 2.

Задано вершини трикутника АВС А(1; 0); В(4; -1); С(7; 3).

Знайти:

а) рівняння сторони ВС трикутника;

б) рівняння медіани ВМ і висоти АD;

с) довжину висоти АD.

РІШЕННЯ:

а) Рівняння сторони ВС трикутника знайдемо за допомогою рівняння прямої, що проходить через точки В(4; -1); С(7; 3).

Рівняння сторони ВС має вигляд:

б) Знайдемо координати т М - середини сторони АС: А(1; 0); С(7; 3).

; ; М(4; 1,5)

Рівняння медіани ВМ знайдемо за допомогою рівняння прямої, що проходить через точки М(4; 1,5); В(4; -1).

Рівняння медіани ВМ має вигляд:

Для знаходження рівняння висоти AD запишімо рівняння пучка прямих, що проходять через точку А(1; 0). Це буде:

З цього пучка виділимо ту пряму, яка буде перпендикулярна прямій ВС: В(4; -1); С(7; 3)

Із умови перпендикулярності двох прямих знаходимо:

Тоді рівняння висоти AD буде мати вигляд:

с) Знаючи координати точки А(1; 0) і рівняння сторони ВС: знайдемо довжину висоти АD, як відстань від точки А до прямої ВС:

ВІДПОВІДЬ: а) ; б) ; ; с) 3,0

ЗАВДАННЯ 3.

Задано координати вершин піраміди АВСД А(6; 5; 5); В(-1; -3; 4); С(2; 5; -8); Д(-2; 3; 4).

Знайти:

1. довжину ребра АВ.

2. кут між ребрами АВ і АД.

3. рівняння площини АВС.

4. кут між ребром АД і гранню АВС.

5. площу грані АВС.

6. об'єм піраміди.

7. рівняння прямої АВ.

8. рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС

РІШЕННЯ:

Знайдемо координати ребра АВ, АС, АD, які будуть використані в обчисленнях, використовуючи відомі координати точок А(6; 5; 5); В(-1; -3; 4); С(2; 5; -8); Д(-2; 3; 4):

1. Довжина ребра АВ, АС, AD дорівнює:

2. Кут j між ребрами АB та АD знаходимо по формулі:

Þ j = arccos 0,82

3. Знаючи координати точок А(6; 5; 5); В(-1; -3; 4); С(2; 5; -8) рівняння площини, що проходить через ці точки знайдемо за формулою:

Рівняння цієї площини має вигляд:

4. Кут між ребром і гранню АВС визначимо, знаючи - нормальний вектор площини АВС, та

= Þ f = arcsin (-0,54)

5. Площа грані АВС розраховується через векторний добуток векторів ; .

Отже, кв. од.

6. Об'єм піраміди DABC, знаючи ; ; розраховується по формулі:

7. Рівняння прямої АВ представимо у вигляді рівняння, що проходить через точки А(6; 5; 5); В(-1; -3; 4)

8. Рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС знайдемо, визначив канонічне рівняння прямих, що проходять через точку Д(-2; 3; 4):

Із цього пучка прямих виділимо ту, яка буде перпендикулярна до площини АВС. Умова перпендикулярності прямої і площини – це умова паралельності напрямного вектора прямої і нормального вектора .

Отже, згідно співвідношення:

, m = 104, n = -87, p = -32

Тоді рівняння - буде рівняння висоти, опущеної із вершини D на грань АВС.

ВІДПОВІДЬ: 1) 10,6 у.о;

2) j = arccos 0,82;

3) ;

4) f = arcsin (-0,54);

5) кв. уо;

6) ;

7) ;

8)

ЗАВДАННЯ 4

Знайти вказані границі:

а) ; б) ; в) ; г)

д) ;

РІШЕННЯ:

а) В даному випадку особливість має вигляд .

Показник найбільшого степеня х в чисельнику і в знаменнику однаковий і дорівнює 2, тому поділимо чисельник і знаменник дробу під знаком границі на х2. Одержимо, використовуючи властивості границі:

б)

Використавши поняття еквівалентності нескінченно малих величин tg3 » 3x, sin4x » 4x при х ® 0 спрощуємо вираз:

в) У цьому випадку маємо невизначеність виду 1¥.

Для розкриття цієї невизначеності слід скористатися другою границею:

та представлення її в загальному виді:

Поділимо чисельник і знаменник основи шуканої границі на х:

г) Якщо у вираз під знаком границі підставити замість х його граничне значення, то одержимо:

- невизначеність

При розкритті цієї невизначеності будемо спиратися на те, що відшуканні границі f(x) при х ® а за означенням не вимагається, щоб значення х = а входило в область визначення функції. Це дає нам можливість поділити чисельник і знаменник на х – а.

Для цього чисельник розкриваємо за формулою:

Знаменник також розкладемо на множники за формулою:

Тоді

д)

Щоб розкрити цю невизначеність:

- перенесемо ірраціональність з чисельника в знаменник, для цього чисельник і знаменник домножимо на ;

- знаменник розкладемо на множники за формулою: Þ

Отримаємо наступне:

Підставимо замість х ставимо 4 – те значення, до якого він прямує:

ВІДПОВІДЬ: а) 7; б) 1,33; в) е2; г)-1,5; д)

завдання 5.

Знайти похідну функцій:

а) ; в) ; д)

б) ; г) ;

РІШЕННЯ:

У даному випадку маємо показниково-степеневу функцію:

Прологарифмуємо цю функцію та візьмемо похідні від лівої та правої частини:

 

Аналогічно розрахуємо наш приклад:

 

Приведемо цю функцію до виду:

В даному випадку залежність у від х задана неявно. Використовуючи правило диференціювання неявно заданої функції, одержимо наступне.

Візьмемо похідну по х, вважаючи у сталою, потім похідну по у, вважаючи х сталою:





Реферат на тему: Розв'язування задач системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса - 6 варіант (контрольна робота)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.