Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Розв'язок задач системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса - 5 варіант (контрольна робота)

Завдання 1.

Задана система лінійних рівнянь:

Розв'язати її двома способами:

а) методом Крамера;

б) методом Гауса

РІШЕННЯ:

а) Розв'язання системи ЛУР методом Крамера:

Розв'язання системи ЛУР методом Гауса

Розділимо перше рівняння на 2, отримаємо:

х1 – х2 – 2,5 х3 = -5 (1)

Помножимо це рівняння на 3 і результат віднімемо із другого рівняння, отримаємо:

2 + 4,5х3 =20

Помножимо (1) на 4 і результат віднімемо із третього рівняння, отримаємо:

1 – 4х2 – 10х3 = - 20 Þ х2 + 15х3 = 27

Отримали систему рівнянь:

Розділимо перше рівняння цієї системи на 4, будемо мати:

х2 + 1,125х3 =5 (2)

Помножимо це рівняння на 1 і результат віднімемо із другого рівняння, отримаємо:

13,875х3 =-22 Þ х3 = 1,58

Підставивши це значення в (1) і (2), отримаємо:

х1 = 2,18; х2 = 3,21

ВІДПОВІДЬ: х1 = 2,18; х2 = 3,21; х3 = 1,58

ЗАВДАННЯ 2.

Задано вершини трикутника АВС А(2; -7); В(-1; 4); С(0; -5).

Знайти:

а) рівняння сторони ВС трикутника;

б) рівняння медіани ВМ і висоти АD;

с) довжину висоти АD.

РІШЕННЯ:

а) Рівняння сторони ВС трикутника знайдемо за допомогою рівняння прямої, що проходить через точки В(-1; 4); С(0; -5).

 

Рівняння сторони ВС має вигляд:

б) Знайдемо координати т М - середини сторони АС: А(2; -7); С(0; -5).

; ; М(1; -6)

Рівняння медіани ВМ знайдемо за допомогою рівняння прямої, що проходить через точки В(-1; 4); М(1; -6).

Рівняння медіани ВМ має вигляд: Þ

Для знаходження рівняння висоти АD знайдемо спочатку кутовий коефіцієнт сторони ВС: В(-1; 4); С(0; -5)

В силу умови перпендикулярності кутовий коефіцієнт висоти, проведеної з вершини А(2; -7) дорівнює . Рівняння цієї висоти має вигляд:

 

с) Знаючи координати точки А(2; -7) і рівняння сторони ВС: знайдемо довжину висоти АD, як відстань від точки А до прямої ВС:

ВІДПОВІДЬ: а) ; б) ; ; с) 2,09

ЗАВДАННЯ 3.

Задано координати вершин піраміди АВСД А(7; -2; -3); В(-4; 2; 1); С(2; 4; 6); Д(3; 2; -5).

Знайти:

1. довжину ребра АВ.

2. кут між ребрами АВ і АД.

3. рівняння площини АВС.

4. кут між ребром АД і гранню АВС.

5. площу грані АВС.

6. об'єм піраміди.

7. рівняння прямої АВ.

8. рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС

РІШЕННЯ:

Знайдемо координати ребра АВ, АС, АD, які будуть використані в обчисленнях:

1. Довжина ребра АВ дорівнює:

2. Кут j між ребрами АB та АD знаходимо по формулі:

Þ j = arccos 0,69

3. Знаючи координати точок А(7; -2; -3); В(-4; 2; 1); С(2; 4; 6) рівняння площини, що проходить через ці точки знайдемо за формулою:

Рівняння цієї площини має вигляд:

4. Кут між ребром і гранню АВС визначимо, знаючи - нормальний вектор площини АВС, та

=

= Þ f = arcsin 0,67

5. Площа грані АВС розраховується через векторний добуток векторів ; .

Отже, кв. од.

6. Об'єм піраміди DABC, знаючи ; ; розраховується по формулі:

7. Рівняння прямої АВ представимо у вигляді рівняння, що проходить через точки А(7; -2; -3); В(-4; 2; 1)

8. Рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС знайдемо, визначив канонічне рівняння прямих, що проходять через точку D(3; 2; -5):

Із цього пучка прямих виділимо ту. Яка буде перпендикулярна до площини АВС. Умова перпендикулярності прямої і площини – це умова паралельності напрямного вектора прямої і нормального вектора .

Отже, згідно співвідношення:

, m = 12, n = 119, p = -86

Тоді рівняння - буде рівняння висоти, опущеної із вершини D на грань АВС.

ВІДПОВІДЬ: 1) ; 2) j = arccos 0,69; 3) ;

4) j = arcsin 0,67; 5) кв. уо; 6) куб. уо;

7) ; 8)

ЗАВДАННЯ 4

Знайти вказані границі:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

РІШЕННЯ:

а) Проведемо перетворення:

 

В даному випадку особливість має вигляд . Показник найбільшого степеня х в чисельнику і в знаменнику однаковий і дорівнює 2, тому поділимо чисельник і знаменник дробу під знаком границі на х2. Одержимо, використовуючи властивості границі:

б) Якщо у вираз під знаком границі підставити замість х його граничне значення, то одержимо:

- невизначеність НЕ ЗНАЮ

в) Знаючи, що при х®0, можливо зробити наступне:

г)

Щоб розкрити цю невизначеність перенесемо ірраціональність з чисельника в знаменник. Для цього чисельник і знаменник помножимо на

д)

У цьому випадку маємо невизначеність виду -1¥. Для розкриття цієї невизначеності слід скористатися другою границею:

ВІДПОВІДЬ: а)1; б) 0,25; в) 2,33; г) 0,5; д) е18

завдання 5.

Знайти похідну функцій:

а) ; в) ; д)

б) ; г) ;

РІШЕННЯ:

Використаємо спосіб логарифмічного диференціювання:

 

В даному випадку залежність у від х задана неявно. Використовуючи правило диференціювання неявно заданої функції, одержимо наступне.

Візьмемо похідну по х, вважаючи у сталою:

ЗАВДАННЯ 6.

Провести повне дослідження функції , побудувати її графік.

РІШЕННЯ:

Функція визначена і неперервна в області (-¥; -2) È (-2; ¥)

В точці х = -2 функція має розрив.

Досліджуємо функцію на парність-непарність:

Функція парна, її графік симетричен відносно х = -2

Знайдемо однобічні границі в точці розриву х = -2:

 

Отже х = -2 є точкою розриву другого роду, а рівняння вертикальної асимптоти буде х = -2.

Знайдемо рівняння похилої асимптоти у вигляді

 

Отже рівняння похилої асимптоти буде , перетинає осі координат у точках: А(0; 1,5); В(-1,5; 0)

Точок перетину графіка функції з осями координат нема, тому що, окрім точку розриву х = -2 функція f(x) ¹ 0

Знайдемо інтервали монотонності та екстремуми функції:

 

Прирівнявши першу похідну до нуля знаходимо стаціонарні точки (точки підозрілі на екстремум):

Þ Þ

Стаціонарні точки розбивають область визначення на інтервали зростання (спадання) функції:


Графік функції буде мати вигляд:





Реферат на тему: Розв'язок задач системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса - 5 варіант (контрольна робота)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.