Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Розв'язання задач з предмету "економічна статистика" (практична робота)

Задача 2.13

У крамницю для продажу надходить 50% продукції з I фабрики, 30% з II фабрики, 20% з III фабрики. Брак продукції цих фабрик становить 2, 3 та 5% відповідно. Знайти ймовірність того, що навмання куплений у магазині виріб буде бракований.

Рішення:

Нехай подія А - навмання куплений у магазині виріб буде бракований.

Ця подія може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:

Н1 – продукція надійшла з I фабрики;

Н2 – продукція надійшла з II фабрики;

Н3 – продукція надійшла з III фабрики.

Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:

Р(Н1) = 0,5

Р(Н2) = 0,3

Р(Н3) = 0,2

Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:

РН1(А) = 0,02

РН2(А) = 0,03

РН3(А) = 0,05

За формулою повної ймовірності маємо:

Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) + Р(Н3) х РН3(А) =

= 0,5 х 0,02 + 0,3 х 0,03 + 0,2 х 0,05 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029

відповідь: P3(1) = 0,029

задача 5.10

Неперервна випадкова величина Х задана своєю функцією розподілу F(X). Побудувати графік функції F(X), знайти щільність розподілу, математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі (a; b), де a = -10; b = -4,2

0, x < -5

F(X) = -x2 – 8x -15; -5 £ x < -4

1, x ³ -4

Рішення:

Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)

F(X)

 

 

1

 


 

-5 -4 0 x

Рис.1

Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):

0, x < -5

f(x) = -2x – 8; -5 £ x < -4

0, x ³ -4

Знайдемо математичне сподівання М(Х):

b - 4 - 4

M(X) = òxf(x)dx = ò (-2x2 – 8x)dx = -2x3/3 - 8 = -2/3(-125 + 64) – 8 =

a -5 - 5

=122 /3 – 8 = 40,6 – 8 = 32,6

 

Знайдемо дисперсію D(X):

b - 4 - 4

D(X) = òx2f(x)dx – M2(X) = ò (-2x3 – 8x2)dx – (32,6)2= -2x4/4 – 8x3/3 - 1062,76 =

a -5 -5

- 4

= - x4/2 – 2,6x3 - 1062,76 = (-1/2(625 – 256) – 2,6(-125 + 64)) - 1062,76 =

-5

= (- 184,5 + 158,6) – 1062,76 = -25,9 -1062,76 = 1036,86

Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі

(-10; - 4,2):

b - 4,2 - 4,2

P(-10 < X < -4,2) = ò f(x)dx = ò -(2x – 8)dx = -x2 Þ P(-10 < X < -4,2) > 1, f(x)=0 при x £ -5

a -10 -10

 

отже випадкова величина Х при значенні a = -10 ніколи не набуде значення в даному інтервалі.

0, x < -5

відповідь: f(x) = -2x - 8; -5 £ x < -4

0, x ³ -4

М(Х) = 32,6; D(X) = 1036,86;

P(-10 < X < -4,2) > 1, випадкова величина Х при значенні a = -10

ніколи не набуде значення в даному інтервалі.

задача 7.23

Вивчається рентабельність малих підприємств харчового виробництва. В результаті обстеження n=100 підприємств встановлено, що на k1=28 із них рентабельність становить 12-14%, на k2=18 – 16-18%, на k3=10 – 18-20%, на k4=24 – 14 -16%, на k5=20 – 10-12%.

Потрібно побудувати:

1) статистичний розподіл частот і відносних частот;

2) гістограму відносних частот;

3) емпіричну функцію розподілу і кумулятивну криву.

Рішення:

Згідно умові маємо:


 

Рентабельність [10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]

h= aimax-aimin= 2

Частота ki 20 28 24 18 10 n = 100

Відносна частота

Wi = ki / n 0,2 0,28 0,24 0,18 0,1


 

Табл. 1

Графік статистичного розподілу відносних частот має вигляд: (рис.2)

Wi

0,28


 

0,24


 

0,2

0,18

0,1


 

10 12 14 16 18 20 Рентабельність

Рис.2

Графік статистичного розподілу частот має вигляд: (рис.3)

ki

28


 

24


 

20

18

10


 

10 12 14 16 18 20 Рентабельність

 

Рис.3

Для побудови гістограми відносних частот потрібно розрахувати щільності відносних частот:

Рентабельність [10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]

h= aimax-aimin= 2

Відносна частота

Wi = ki / n 0,2 0,28 0,24 0,18 0,1 n = 100


Щільність ВЧ

Wi / h 0,1 0,14 0,12 0,09 0,05


Табл. 2 Гістограма відносних частот має вигляд: (Рис.4)

Wi / h

0,14


 

0,12


 

0,1

0,09

0,05


 

10 12 14 16 18 20 Рентабельність

Рис.4

Для побудови емпіричної функції розподілу і кумулятивної кривої потрібно розрахувати значення накопичених частот Fi і відносних накопичених частот Fi / n.

Розподіл накопиченої частоти Fi одержимо послідовним додаванням частот ki чергового інтервалу, починаючи з першого і кінчаючи останнім. Розподіл відносної накопиченої частоти розрахуємо по формулі Fi / n.

Розраховані дані занесемо у таблицю ( див. Табл.3)

 

Рентабельність [10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]

h= aimax-aimin= 2

Частота ki 20 28 24 18 10 n = 100

Накопичена частота

Fi 20 48 72 90 100

Відносна накопич.

частота Fi / n. 0,2 0,48 0,72 0,9 1

 

Табл. 4

Графік емпіричної функції розподілу Fi(х) є близьким зображенням графіка теоретичної функції розподілу F(х) випадкової величини x, з елементів якої укладена вибірка.

Побудована емпірична функція розподілу має вигляд: (Рис.5)

Fi(x)

1

90

 

72


 

 

48

20


 

10 12 14 16 18 20 Рентабельність

Рис.5

Побудована кумулятивна крива розподілу має вигляд: (Рис.6)

Fi / n

1

0,9

 

0,72


 

 

0,48

0,2


 

10 12 14 16 18 20 Рентабельність

Рис.6

відповідь: Графік статистичного розподілу частот - (рис.3)

Графік статистичного розподілу відносних частот - (рис.2) Гістограма відносних частот - (Рис.4)

Графік емпіричної функції розподілу - (Рис.5)

Кумулятивна крива розподілу - (Рис.6)

задача 8.16

Підприємство випускає безалкогольні напої. Для контролю роботи наповню-вального автомата навмання відібрано n пляшок з напоями. Результати перевірки вмісту наведені в таблиці. Вважаючи, що випадкова величина Х – вміст напою в пляшці, розподілена за нормальним законом, потрібно:

1) обчислити точкові незсунені статистичні оцінки для М(Х);

2) З надійністю g визначити надійний інтервал для оцінки дійсного середнього значення вмісту напоїв у пляшці.

Х,мл 490 - 494 494 - 497 497 – 500 500 – 502 502 – 506

ni 12 20 34 26 8 n = 100; g = 0,99


 

Рішення:

Спочатку обчислимо середні значення Хср і занесемо ці значення у таблицю.

Хср = (a + b) / 2

Х,мл 492 495,5 498,5 501 504

ni 12 20 34 26 8 n = 100; g = 0,99

Знайдемо числове значення для M(X):

M(X) = 1/nånixi = 1/100 (492 x 12 + 495,5 x 20 + 498,5 x 34 + 501 x 26 + 504 x 8) =

= 1/100 (5904 + 9910 + 16949 + 13026 + 4032) = 49821 / 100 = 498,21

Потім розрахуємо числове значення для D(X):

D(X) = 1/nåni[xi – M(X)]2 = 1/100[12 (492 – 498,21)2 + 20 (495,5 – 498,21)2 +

+ 34 (498,5 – 498,21)2 + 26 (501 – 498,21)2 + 8 (504 – 498,21)2 ] =

= 1/100[ 462,8 + 146,9 + 2,9 + 202,4 + 268,2] = 1083,2 / 100 = 10,83

Знайдемо числове значення для s(X): s(X) = = 3,3

За умовою задачі надійність g = 0,99, n = 100.

Спочатку розрахуємо число t: Ф(t) = 1/2 g Þ Ф(t) =0,495. З таблиці інтегральної функції Лапласа Ф знайдемо число t = 2,6.

Тоді точність оцінки можна розрахувати:

Отже надійний інтервал буде:

(M(X) - d; M(X) + d) = (498,21 – 0,86; 498,21 + 0,86) = (497,35; 499,07)

Якщо М(Х) = 498,21, то з надійністю g = 0,99 інтервал (497,35; 499,07) покриває параметр a = 498,21 с точністю до 0,86.

відповідь: M(X) =498,21; s(X) = 3,3; (M(X) - d; M(X) + d) = (497,35; 499,07)

задача 10.6

Вивчається величина прибутку на акцію в харчовій промисловості. З цією метою проаналізовано дані і навмання відібраних акціонерів; результати наведено в таблиці. За рівня значущості a перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – прибутку на акцію.

Х 0,2 – 0,3 0,3 – 0,4 0,4 – 0,5 0,5 – 0,6 0,6 – 0,7 0,7 – 0,8 0,8 – 0,9

ni 14 18 32 70 36 20 10

n = 200, a = 0,01

Рішення:

Для перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини

Х – прибутку на акцію застосуємо критерій Пірсона.

Критерієм перевірки цієї гіпотези візьмемо випадкову величину c2, яка може приймати у різних випробуваннях різні, наперед невідомі значення. Критичне значення цієї величини залежить від рівня значущості a та степенів вільності її розподілу k.

c2кр = c2(a,k).

За умовою задачі a = 0,01, для розподілу по нормальному закону k = m –3, де m – кількість часткових інтервалів і дорівнює 7 Þ k = 4

З таблиці критичних точок розподілу (значення критерію Пірсона) Р(c2кр < c2 сп) = a для a = 0,01 та k = 4 знаходимо c2кр = 13,28

1. Обчислимо теоретичні частоти n1k для даного варіанта вибірки:

Pk = n1k / n, де к =1,2,3,…,m. Отже n1k = Pk n

Pk = P(xk < X < xk+1) = , де

ХB – вибіркове середнє обчислюється по формулі:

ХB = 1/nånixср

Д(Х) – вибіркова дисперсія обчислюється по формулі:

D(X) = 1/nåni(xiXB)2

s - вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюється по формулі

s =

ХB = 1/200(0,25 x 14 + 0,35 x 18 + 0,45 x 32 + 0,55 x 70 + 0,65 x 36 + 0,75 x 20 +

+ 0,85 x 10) = 1/200 ( 3,5 + 6,3 + 14,4 + 38,5 + 23,4 + 15 + 8,5) = 109,6 / 200 = 0,548

Д(Х) = 1/200[14(0,25 – 0,548)2 + 18(0,35 – 0,548)2 + 32(0,45 – 0,548)2 + 70(0,55 – 0,548)2 +

+ 36(0,65 – 0,548)2 + 20(0,75 – 0,548)2] + 10(0,85 – 0,548)2 = 1/200[ 1,26 + 0,72 +

+ 0,29 + 0,0003 + 0,37 + 0,81 + 0,9] = 4,35 / 200 = 0,02

s = = 0,14

P1 = P(0,2 < X < 0,3) = =

= Ф(-1,77) + Ф(2,48) = - 0,4616 + 0,4934 = 0,032

P2 = P(0,3 < X < 0,4) = Ф(-1,06) + Ф(1,77) = -0,3554 + 0,4616 = 0,11

P3 = P(0,4 < X < 0,5) = Ф(-0,34) + Ф(1,06) = -0,1331 + 0,3554 = 0,22

P4 = P(0,5 < X < 0,6) = Ф(0,37) + Ф(0,34) = 0,1443 + 0,1331 = 0,28

P5 = P(0,6 < X < 0,7) = Ф(1,09) - Ф(0,37) = 0,3621 – 0,1443 = 0,22

P6 = P(0,7 < X < 0,8) = Ф(1,8) - Ф(1,09) = 0,4641 – 0,3621 = 0,1

P7 = P(0,8 < X < 0,9) = Ф(2,5) - Ф(1,8) = 0,4938 – 0,4641 = 0,03

Маємо такі значення теоретичної частоти:

n11 = 0,032 x 200 = 6,4 n12 = 0,11 x 200 = 22

n13 = 0,22 x 200 = 44 n14 = 0,28 x 200 = 56

n15 = 0,22 x 200 = 44 n16 = 0,1 x 200 = 20

n17 = 0,03 x 200 = 6

2. Обчислимо спостережене значення критерію c2 за формулою:

= 9,025 + 0,72 + 3,27 + 3,5 + 1,45 + 0 + 2,66 = 20,625

Згідно критерію Пірсона, якщо:

c2кр < c2 сп - гіпотеза не підтверджується,

c2кр > c2 сп - гіпотеза підтверджується.

В результаті рішення задачі одержали, що c2кр < c2 сп (13,28 < 20,625), а значить гіпотеза про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – прибутку на акцію – НЕ ПІДТВЕРДЖУЄТЬСЯ.

відповідь: Гіпотеза НЕ ПІДТВЕРДЖУЄТЬСЯ.

задача 11.15

Менеджером фірми одержано залежність між часом Х реалізації партії продукції (дні) і величиною партії Y (тис. шт.). Результати дослідження наведені в таблиці, де N – номер варіанта, N=7. Потрібно:

- встановити форму залежності між ознаками X та Y;

- знайти рівняння лінійної регресії Y на Х;

- оцінити силу лінійного зв'язку і перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції;

- с надійністю a визначити надійний інтервал для лінії регресії.


 

Хi 17 20 21 23 24 27 29 30 a


 

Yi 0,45 1,35 1, 8 2,4 2,55 2,65 4,1 4,6 0,95


 

Рішення:

Ознаки Хi – час реалізації продукції і Yi – величина партії – залежні величини. Залежність між ними – корельована, яку можливо охарактеризувати кореляційними і регресійними зв'язками між ними.

Коефіцієнт лінійної кореляції g і коефіцієнти рівняння регресивної прямої y = ax + b обчислюються по формулах:

- коефіцієнт лінійної кореляції

; b = - коефіцієнти рівняння регресивної прямої

Qx = (n – 1) ; Qy = (n – 1)

Qxy =

Математичне очікування (середнє число) часу реалізації:

= 1/8 (17 + 20 + 21 +23 + 24 + 27 + 29 + 30) = 23,9

Математичне очікування (середнє число) величини партії:

= 1/8 (0,45 + 1,35 + 1,8 + 2,4 + 2,55 + 2,65 + 4,1 + 4,6) = 2,5

Дисперсія (розсіювання) часу реалізації:

Sx = 1/8 [(17-23,9)2 + (20-23,9)2 + (21-23,9)2 + (23-23,9)2 + (24-23,9)2 +

+ (27-23,9)2 + (29-23,9)2 + (30-23,9)2 = 1/8(47,6 + 12,7 + 8,4 + 0,8 + 0,01 + 9,6 + 29,1 +

+ 37,2) = 145,4 / 8 = 18,2

Qx = (8 – 1) х 18,22 = 7 х 331,2 = 2318,4

Дисперсія (розсіювання) величини партії:

Sy = 1/8 [(0,45-2,5)2 + (1,35-2,5)2 + (1,8-2,5)2 + (2,4-2,5)2 + (2,55-2,5)2 +

+ (2,65-2,5)2 + (4,1-2,5)2 + (4,6-2,5)2 = 1/8( 4,2 + 1,3 + 0,5 + 0,01 + 0,0025 + 0,0225 +

+ 2,56 + 4,4 ) = 13 / 8 = 1,62

Qy = (8 – 1) х 1,62 2 = 7 х 2,64 = 18,5

= …+ , де Yj = 18,9; Xi = 191

= 17 x 18,9 + 20 x 18,9 + 21 x 18,9 + 23 x 18,9 + 24 x 18,9 + 27 x 18,9 + 29 x 18,9 +

+ 30 x 18,9 = 321,3 + 378 + 396,9 + 434,7 + 353,6 + 510,3 + 548,1 + 567 = 3510

Qxy = = - å x * = 3510 – 191 x 2,5 = 3510 – 477,5 = 3032,5

Y X

17

20

21

23

24

27

29

30

Py

0,45

1/8

0

0

0

0

0

0

0

1/8

1,35

0

1/8

0

0

0

0

0

0

1/8

1,8

0

0

1/8

0

0

0

0

0

1/8

2,4

0

0

0

1/8

0

0

0

0

1/8

2,55

0

0

0

0

1/8

0

0

0

1/8

2,65

0

0

0

0

0

1/8

0

0

1/8

4,1

0

0

0

0

0

0

1/8

0

1/8

4,7

0

0

0

0

0

0

1/8

0

1/8

Px

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1

Kоефіцієнт лінійної кореляції дорівнює:

= = 14,6

Kоефіцієнти рівняння регресивної прямої дорівнюють:

= = 1,28

b = = 2,5 – 14,6 x 23,9 = 2,5 – 349 = - 346,5

Підсумкова регресивна пряма має вид:

y = ax + b = 1,28x – 346,5

За умовою задачі надійність a = 0,95, n = 8.

Спочатку розрахуємо число t: Ф(t) = 1/2 a Þ Ф(t) =0,475. З таблиці інтегральної функції Лапласа Ф знайдемо число t = 1,96.

Розрахуємо s - вибіркове середнє квадратичне відхилення: sх = ; sу = Þ sх = 4,28; sу = 0,67

Тоді точність оцінки для Х – часу реалізації можна розрахувати:

Точність оцінки для Y – величини партії дорівнює:

Отже надійний інтервал для Х – часу реалізації буде:

(X - dх; X + dx) = (23,9 – 3; 23,9 + 3) = (20,9; 26,9)

Надійний інтервал для Y – величини партії дорівнює:

(Y - dy; Y + dy) = (2,5 – 1; 2,5 + 1) = (1,5; 3,5)

відповідь:Підсумкова регресивна пряма має вид:

y = ax + b = 1,28x – 346,5

Надійний інтервал для Х – часу реалізації: (20,9; 26,9)

Надійний інтервал для Y – величини партії: (1,5; 3,5)





Реферат на тему: Розв'язання задач з предмету "економічна статистика" (практична робота)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.