Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Комплексні числа та дії над ними (методичка)

Тема 1: Комплексні числа

Комплексні числа та дії над ними. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній та показниковій формах.

Мета: Метою теми «Комплексні числа» є завершення вивчення історії розвитку поняття числа, що дасть можливість на належному рівні розглядати технічні процеси, теорії розв'язування рівнянь, створити математичний апарат для розрахунків.

Основні вимоги

У результаті вивчення теми студенти повинні вміти:

– виконати дії над комплексними числами у різних формах запису;

– здійснити перехід від однієї форми запису комплексного числа до іншої;

– зображати комплексні числа геометрично.

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА 

Комплексні числа виникли із практики розв'язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв'язування квадратного рівняння у випадку, коли його дискримінант від'ємний, корені не можуть бути дійсними. Те саме спостерігалося і під час розв'язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від'ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, а тему квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У XVI ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв'язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р. праці італійського матема­тика Джироламо Кардано (1501—1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв'язків кубічного рівняння х 3+ рх + q = 0.



Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні, усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел (їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв'язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв'язку із застосуванням формули Кардано з'явилися символи виду 12aВ±-b' type="#_x0000_t75">(b > 0), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дійсними числами.


Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530—1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже у сучасному вигляді. Рене Декарт, який ототожнював дійсні числа з відрізками координатної осі, вважав, що для комплексних чисел не може існувати жодного реального тлумачення, а тому вони назавжди залишаються уявлюваними. Такого погляду дотримувалися й інші ма­тематики того часу, у тому числі Ісаак Ньютон і німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716).


У XVII ст. англійський математик Джон Валліс (1616— 1703) у своїй праці «Алгебра, історичний і практичний трактат» (1685) вказав на можливість геометричного тлумачення уявних чисел. Лише у XVIII ст. для розв'язування численних задач математичного аналізу, механіки і геометрії виникла потреба у геометричній інтерпретації комплексних чисел.

 


Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменни­ками. В 1712 р. між Лейбніцем та І. Бернуллі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від'ємних чисел. Лейбніц стверджу­вав, що логарифми від'ємних чисел уявні, а І. Бернуллі вважав, що вони дійсні. Це питання розв'язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (cos 12П†В±isinП†)' type="#_x0000_t75">2 = 12cosnП†В±isinnП†' type="#_x0000_t75">було виведено у пер­шій чверті XVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667—1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вжи­ваний у ті часи символ 12-1' type="#_x0000_t75">.


Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на своїй могильній плиті злак 12-1' type="#_x0000_t75">як символ потойбічного світу.
Символ і було введено Ейлером у 1777 р. (опубліковано у 1794 p.).


Поняття «модуль» і «аргумент» комплексного числа ввів французь­кий учений Жан Лерон Д' Аламбер (1717—1783). Самі ж ці терміни було введено у XIX ст. швейцарським математиком Жа­ном Робертом Арганом (1768—1822) і французьким мате­матиком Огюстєном Луї Коші (1789—1857).


Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними оста­точно закріпилось у математиці лише після виходу у 1831 р. праці німецького математика Кар л а Фрідріха Гаусса (1777— 1855) «Теорія біквадратних лишків». Гаусс замінив назву «уявні числа» на термін «комплексні числа».


В 70-х роках XVIII ст. Ейлер і Лагранж застосували поняття комплексної. змінної до розв'язування багатьох задач, зокрема задачі побудови геометричних карт. Комплексні числа застосовували у своїх працях з гідродинаміки Д'Аламбер та Ейлер.


За допомогою теорії функцій комплексної змінної, яка розвинула­ся на основі комплексних чисел, було розв'язано багато проблем аеро- і гідродинаміки, теорії пружності, радіотехніки та ін. Комплексні числа. Алгебраїчна форма запису комплексного числа.


Під час розв'язання багатьох задач, рівнянь, виникла потреба добувати квадратний корінь з від'ємних чисел. Квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом у множині, дійсних чисел розв'язків не мають. Постає питання про розширення множини дійсних чисел. Ввели нове число і для якого справедлива рівність: і2=-1.


Тоді, 12В±-9=В±9в€™-1=В±9i2=В±3i' type="#_x0000_t75">
Розв'язуючи рівняння х2-4х+13=0 одержимо:


12x1,2=4В±16-4в€™1в€™132в€™1=4В±16-522=4В±-362=4+6i2=2В±3i' type="#_x0000_t75">

Означення: Комплексними числами називають числа виду а+bі (а,b - дійсні числа, і - уявна одиниця), для яких введено поняття рівності та операції додавання і множення:
а) два комплексні числа а1+b1і та а2+b2і рівні тоді і тільки тоді, коли а1=а2, b1=b2;
б) сумою чисел ai+b1і та а2+b2і називають число (а1+ a2)+(b1+b2) і.
в) добутком чисел а1+b1i та а2+b2і називають число (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i.
Комплексні числа часто позначають однією буквою, наприклад z.


z = a + bi - алгебраїчна форма комплексного числа, а - дійсна його частина, b - коефіцієнт при уявній, (і - перша буква латинського слова imaginaries - уявний).
Додавання і множення комплексних чисел підлягає тим самим законам, що й додавання і множення дійсних чисел.
1. Комутативність додавання:
z1+z2=z2+z1.
2. Асоціативність додавання:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3. Для будь яких комплексних чисел z1 і z2 існує таке комплексне число z, що z1+ z= z2. Це число називається різницею чисел z1 і z2, його позначають:
z2 – z1
4. Комутативність множення:
z1z2=z2z1
5. Асоціативність множення:
(z1z2) z3= z1(z2 z3).
6. Для будь яких комплексних чисел z1 12в‰' type="#_x0000_t75"> 0+0i iснує таке число z, що z1 z= z2. Це число називається часткою комплексних чисел z2 і z1; його позначають 12z2z1' type="#_x0000_t75"> . Ділення на комплексне число 0+0і, яке називається нулем, неможливе.
7. Дистрибутивність:
z1(z2+ z3)= z1 z2 + z1 z3.
Числа a + bi та a - bi, дійсні частини яких рівні , а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.
Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

 

Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Зображають комплексні числа точками координатної площини, яку при цьому називають комплексною.
Кожному комплексному числу а + bi поставлено у відповідність точку М (а; b) координатної площини, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината - коефіцієнту уявної частини. Зручно зображати комплексне число z = a+bi як вектор 12РћРњ' type="#_x0000_t75">.



Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.
Дано комплексні числа z1=-1+6i та z2=2+5i. Знайти суму z1+z2, різницю z2-z1, добуток z1z2 і частку z2/z1. Розв'язання
1) z1+z2=(-1+6i)+(2+5i)=-1+6i+2+5i=(1+2)+(6+5)i=1+11i.
2) z1-z2=(2+5i)-(-1+6i)=2+5i+1-6i=(2+1)+(5-6)i=3-i.
3) z1-z2=(-1+6i)(2+5i)=-2-5i+12i+30i2=2+7i+30(-1)=(-2-30)+7i=32+7i.
4) z2/z1= 122+5i-1+6i' type="#_x0000_t75">
Помножимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:
12z2z1' type="#_x0000_t75"> = 122+5i(-1-6i)-1+6i(-1-6i)=-2-12i-5i-30i21-36i2=-2-17i+301+36=28-17i37=2837-1737i.' type="#_x0000_t75">
Степінь і
і1=і, і2=-1, і3=-і, і4=1, і5=і, і6=-1, і7=-і, і8=1, і9=і.
Значення степеня періодично повторюється.
i4m=1, i4m+1=i, i4m+2=-1, i4m+3=-i.
Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.
Приклад: і34 = і4*8+2 = і2 = -1. Модуль і аргумент комплексного числа.
Означення. Модулем комплексного числа z=a+bi називається довжина вектора, яка відповідає цьому числу.

12r=z=a2+b2' type="#_x0000_t75">


Означення. Аргументом комплексного числа називається величина кута між додатним напрямком дійсної осі й вектором z, при чому величину кута вважають додатною, якщо відлік ведуть проти стрілки годинника, і від'ємною, якщо відлік ведуть за стрілкою годинника.
Аргумент знаходимо з системи :
12cos П†=arsin П†=br' type="#_x0000_t75">
Іноді користуються формулою tg 12П†=ba' type="#_x0000_t75">.

 

Тригонометрична форма комплексного числа
З системи знайдемо a і b:
a= 12rcosП†' type="#_x0000_t75"> , b= 12rsinП†,' type="#_x0000_t75"> тоді
z=a + bi= 12rcosφ+rsinφ=r(cosφ+isinφ).' type="#_x0000_t75">
z= 12r(cosП†+isinП†) ' type="#_x0000_t75"> – тригонометрична форма запису комплексного числа.
Приклад. Подати число z=1-i у тригонометричній формі.
Розв'язання:
12r=z=12+(-1)2=2' type="#_x0000_t75">,
12cosφ=12sinφ=-12' type="#_x0000_t75"> 12φ=7π4' type="#_x0000_t75">
z= 122(cos7ПЂ4+isin7ПЂ4)' type="#_x0000_t75"> або 12z=r(cos-ПЂ4+ isin-ПЂ4.' type="#_x0000_t75">
(Кут, косинус якого додатній, а синус від'ємний знаходиться у четвертій чверті). Дії над комплексними числами,заданими в тригонометричній формі. 1. Множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі. 12z1= r1(cosП†1 + i sin П†1' type="#_x0000_t75">) і 12z2= r2(cosП†2+ isinП†2)' type="#_x0000_t75"> 12z1z2= r1r2 П†1+ П†2+ isinП†1+П†2.' type="#_x0000_t75">
Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, сума аргументів співмножників є аргументом добутку.
Для частки, помноживши чисельник і знаменник на число, спряжене знаменнику, дістанемо: 12z1z2= r1r2(cos П†1-П†2+i sin П†1-П†2)' type="#_x0000_t75">
Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів цих чисел, різниця аргументів діленого й дільника є аргументом частки.
12rcos П†+i sin П†n=rncos n П†+i sin n П†.' type="#_x0000_t75">
12zk=nr (cosφ+i sinφ)=nr(cosφ+2hπn+i sinφ+2hπn)' type="#_x0000_t75">
де 12nr' type="#_x0000_t75">– арифметичний корінь,
k=0, 1, 2, 3,…, n-1.
2. Піднесення до степеня і добування кореня
Модуль добутку п комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, сума аргументів всіх співмножників є аргументом добутку комплексних чисел.
Маємо формулу: 12rn(cosnП†+isinnП†)' type="#_x0000_t75">,
яка дає правило піднесення комплексного числа 12r(cosП†++ isinП†)' type="#_x0000_t75">до цілого додатного степеня:
при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до степеня з тим самим показником, а аргумент множиться на показник степеня.
Число z називається коренем степеня п з числа 12П‰' type="#_x0000_t75">(позначається 12nП‰' type="#_x0000_t75">), якщо zn = 12П‰' type="#_x0000_t75">. 12z=r cosП†+ isinП†, П‰=s (cosП€+ isinП€).' type="#_x0000_t75"> 12rn= s ' type="#_x0000_t75">і 12nП†=П€+2 ПЂk' type="#_x0000_t75">, 12r= ns' type="#_x0000_t75">i 12П†= П€n+2ПЂnk, k С” Z' type="#_x0000_t75">.
3. Приклади
Виконати дії:
1. 12z=(cos-ПЂ3+isin-ПЂ3)(2(cosПЂ6+i sinПЂ6))2(cos3ПЂ4+isin3ПЂ4).' type="#_x0000_t75">
Розв'язання.
12z1=cos(-ПЂ3+isin(-ПЂ3)' type="#_x0000_t75">, r1=1, γ1 = 12-ПЂ3' type="#_x0000_t75">;
z2 = 2( 12cosПЂ6+i sinПЂ6)' type="#_x0000_t75"> , r2 = 2, γ2 = 12ПЂ6' type="#_x0000_t75">;
z3 = 122(cos3ПЂ4+isin3ПЂ4)' type="#_x0000_t75">, r3 = 122' type="#_x0000_t75">, γ3 = 123ПЂ4' type="#_x0000_t75">.
12r= r1в€™r2r3= 1в€™22=2,' type="#_x0000_t75">
12П†=П†1+П†2-П†3=-ПЂ3+ПЂ6-3ПЂ4=-4ПЂ+2ПЂ-9ПЂ12=-11ПЂ12.' type="#_x0000_t75">
Отже, z = 122(cos-11ПЂ12+isin(-11ПЂ12)).' type="#_x0000_t75">
2. Піднести до дев'ятого степеня комплексне число 12z=3-i.' type="#_x0000_t75"> Розв'язання.
12z=3-i,a=3, b= -1.' type="#_x0000_t75">(IV чв.)
12Знайдемо тригонометричну форму запису числа z=3-i.' type="#_x0000_t75">
12z=(3)2+(-1)2=4=2' type="#_x0000_t75">
12cosφ=32sinφ=-12' type="#_x0000_t75"> 12 φ=-π6' type="#_x0000_t75">
12z=3-i=2(cos-ПЂ6+ isin(-ПЂ6))' type="#_x0000_t75">
12z9=(3-i)9=29cos9-ПЂ6+ isin9-ПЂ6==512(cos-3ПЂ2+ i sinвЃЎ(-3ПЂ2))=512(0+i)=512i.' type="#_x0000_t75">
3. Знайти всі значення 1231' type="#_x0000_t75">. 12z=1=cos0+isin0.' type="#_x0000_t75"> z = 1= cos 0 + i sin 0 12zk=31(cos0+2hПЂ3+isin0+2hПЂ3)=cos2hПЂ3+ isin2hПЂ3, k=0,1,2.' type="#_x0000_t75">
k=0, z0=cos 0 = i sin 0=1
k=1, z1= cos 122ПЂ3+ isin2ПЂ3' type="#_x0000_t75">= 12-12+32i' type="#_x0000_t75"> , так як
12cos2ПЂ3=cosПЂ-ПЂ3=-cosПЂ3=-12;' type="#_x0000_t75">
12sin2ПЂ3=sinПЂ-ПЂ3=sinПЂ3=32;' type="#_x0000_t75">
k=2, z2= cos 124ПЂ3+ isin4ПЂ3' type="#_x0000_t75">= 12-12-32i' type="#_x0000_t75">
Відповідь: 1; 12-12-32i' type="#_x0000_t75">; 12 -12+32i' type="#_x0000_t75"> .
4. Знайдіть всі значення 124-16' type="#_x0000_t75"> 12П‰=-16=16(cosПЂ+isinПЂ).' type="#_x0000_t75"> zk = 2 12(cosПЂ4+2ПЂ4k+isin(ПЂ4+2ПЂ4k))' type="#_x0000_t75"> (k = 0, 1, 2, 3).
Отже,
12z0=2cosПЂ4+ isin3ПЂ4=2 +i 2,' type="#_x0000_t75">
12z1=2(cos3ПЂ4+isin3ПЂ4)= - 2+i 2,' type="#_x0000_t75">
12z2=2 cos5ПЂ4+ isin5ПЂ4=-2-i 2,' type="#_x0000_t75">
12z3=2 (cos7ПЂ4+ isin7ПЂ4)=2-i 2.' type="#_x0000_t75">

z1 z1 z0 z0 = 12 2 +i 2' type="#_x0000_t75">
z2 z3

На цьому рисунку зображено всі чотири значення 124-16' type="#_x0000_t75">. Точки, які відповідають числам 12z0' type="#_x0000_t75">, 12 z1' type="#_x0000_t75"> , 12z2' type="#_x0000_t75">, 12z3' type="#_x0000_t75">, лежать у вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2, з центром у точці 12z' type="#_x0000_t75">=0.
5. Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі:
1. 12r1eiОі1в€™ r2eiОі2=r1r2ei(Оі1+Оі2)' type="#_x0000_t75">
2. 12r1eiОі1r2eiОі2 ' type="#_x0000_t75">= 12r1r2' type="#_x0000_t75"> 12ei(Оі1-Оі2)' type="#_x0000_t75">
3. 12(reiОі)n=rneinОі' type="#_x0000_t75">
4. 12nreiγ= nr∙eγ+2hπni, k=0, 1, 2, …, n-1.' type="#_x0000_t75">
Приклади:
1. Записати в показниковій формі комплексне число
12z=38-18i' type="#_x0000_t75">
12z=364+164=14' type="#_x0000_t75">
12tgОі=-13' type="#_x0000_t75">число лежить в четвертій чверті, отже γ= 12-ПЂ6' type="#_x0000_t75">
12z=14e-i ПЂ6' type="#_x0000_t75">
2. Записати в показниковій формі 12z=(-1+i)5' type="#_x0000_t75">
Розв'язання
1243+i=42eiПЂ6=42в€™ei(ПЂ24+ПЂ2k), k=0, 1, 2, 3.' type="#_x0000_t75">
Показникова форма запису комплексного числа.

12eiφ=cosφ+ isinφ .' type="#_x0000_t75">
Ця формула називається формулою Ейлера.
Вище було показано, що кожне комплексне число z ≠0 можна записати в тригонометричній формі:
12z=r cosφ+ isinφ.' type="#_x0000_t75">
Звідси, а також з формули Ейлера випливає, що кожне комплексне число z ≠0 можна записати і в такій формі:
12z=reiφ.' type="#_x0000_t75">
Запис комплексного числа у вигляді 12z=reiП†' type="#_x0000_t75">називається показниковою формою запису.
Тут 12r' type="#_x0000_t75">– модуль комплексного числа, а 12П†' type="#_x0000_t75">– один (будь-який) з його аргументів. Дії над комплексними числами в показниковій формі
Нехай 12z1= r1eiП†1; z2=r2eiП†2' type="#_x0000_t75">, тоді
12z1z2=r1r2ei(П†1+П†2).' type="#_x0000_t75">
12z1z2=r1r2ei(П†1-П†2).' type="#_x0000_t75">

Знаючи формулу Ейлера, формулу для піднесення комплексного числа до натурального степеня можна переписати так:
12(reiφ)n=rneinφ.' type="#_x0000_t75">
Формулу, яка дає всі розв'язки рівняння zn= 12П‰' type="#_x0000_t75"> , завдяки формулі Ейлера можна до переписати в компактнішому вигляді:
12zk=nsei(П€n+2ПЂnk)' type="#_x0000_t75">, k=0, …, n-1.

 

Питання для самоконтролю
1. Які числа називають комплексними?
2. Чи існують для комплексних чисел поняття "більше", "менше"?
3. Який зміст вкладено в комплексне число 12i' type="#_x0000_t75">?
4. Яка алгебраїчна форма запису комплексного числа?
5. Яка геометрична інтерпретація комплексного числа 12z=a+bi' type="#_x0000_t75">?
6. Що таке модуль комплексного числа 12z=a+bi' type="#_x0000_t75">і як його обчислюють?
7. Що таке аргумент комплексного числа 12z=a+bi' type="#_x0000_t75">і як його обчислюють?
8. Чи однозначно визначається модуль комплексного числа 12z=a+bi' type="#_x0000_t75">? Аргумент?
9. Яка тригонометрична форма запису комплексного числа?
10. Як виконують дії з комплексними числами в тригонометричній формі?
11. Яка показникова форма запису комплексного числа?
12. Як виконують дії з комплексними числами в показниковій формі?

 

Усні вправи.
1. Виконати дії:
а) (2+3і)+(-4+і);
б) (12-і)-(-3+і);
в) (-1+і)(-1-і);
г) і(1+і)
Відповіді: а) -2+4і; б) 15-2і; в) 2; г) 1+і.
2. В яких чвертях розміщені комплексні числа?
а) -3+і;
б) 4-і;
в) -2-3і;
г)2+і
Відповіді: а) ІІ чв.; б) ІV чв.; в) ІІІ чв.; г) І чв.
3. Чому дорівнює модуль комплексного числа z = 1+i?
4. Знайти аргумент комплексного числа z = 1+i, якщо 12cosОі=22sinОі=-12' type="#_x0000_t75">
5. Знайти тригонометричну форму комплексних чисел:
а) z = 1;
б) z = -1;
в) z = i;
г) z = -i
Відповіді: а) cos 0 + i sin 0; б) cos π + i sin π; в) 12cosПЂ2+ isinПЂ2' type="#_x0000_t75">; г) 12cos3ПЂ2+ isin3ПЂ2' type="#_x0000_t75">;
6. Обчислити:
а) і16; б) і25; в) і15; г) і22;
Відповіді: а) 1; б) і; в) –і; г) -1. Вправи для самоконтролю
1. Розв'язати рівняння:
а) 12z2-2z+5=0' type="#_x0000_t75">;
б) 12 z2+3z+3=0' type="#_x0000_t75"> ;
в) 12 z2-2iz-5=0' type="#_x0000_t75"> ;
г) 12 z2-2+iz-1+zi=0' type="#_x0000_t75">
2. Виконати дії:
а) 125+2i2-5i-3-4i4+3i;' type="#_x0000_t75">
б) 124+3i3-4i-5-4i4+5i' type="#_x0000_t75">
3. Обчислити:
(1+і)8.
4. Знайти модуль і аргумент числа
128+2С–5-3С–' type="#_x0000_t75">
5. Записати в тригонометричній формі комплексне число
12z=(cosПЂ3-isinПЂ3)(3+i)i-1' type="#_x0000_t75">
6. Піднести до степеня за формулою Муавра:
а) 12(-1+i3)9;' type="#_x0000_t75">
б) 12(32-32i)6' type="#_x0000_t75">
7. Добути корінь:
а) 122+2i3;' type="#_x0000_t75">
б) 1238' type="#_x0000_t75">
8. Розв'язати рівняння:
а) 12x4-4x-16=0;' type="#_x0000_t75">
б) 12x4-2x+4=0' type="#_x0000_t75"> Відповіді:
1. а) 12z1=1+2i; z2=1-2i;' type="#_x0000_t75">
б) 12z1=-32+32i; z2=-32i;' type="#_x0000_t75">
в) 12 z1=2+i; z2=-2+i;' type="#_x0000_t75">
г) 12z1=3-i; z2=-1+2i;' type="#_x0000_t75">
2. а) 2і;
б) 2і;
3. Вказівка. Використати співвідношення
(1+і)2 = 2і.
4. 12z=2, Оі=ПЂ4+2hПЂ, k С” z.' type="#_x0000_t75">
5. 12z=2(cos-11ПЂ12+ isin(- 11ПЂ12))' type="#_x0000_t75">
6. 12Р°)512; ' type="#_x0000_t75">
12Р±)-27' type="#_x0000_t75">
7. 12Р°) 3+i;' type="#_x0000_t75"> 12-3-i;' type="#_x0000_t75">
б) 122; -1+i3; -1-i3;' type="#_x0000_t75">
8. а) 123+i; -3-i; 3-i; -1-i3;' type="#_x0000_t75">
б) 1262+22i; 62-22i; -62+22i; -62-22i.' type="#_x0000_t75">

 

Література
1. Математика для технікумів. Алгебра і початки аналізу/Під ред. Г.М. Яковлева/ – К.:Вища школа, 1980.
2. Валуцє Н.Н.,Дилигул Г.Д. Математика для техникумов/ на базе средней школы/ – М.:Наука,1992.


3. Афанасьева, Бродский Я.С., Гуткин Н.Н, Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов.

– М.: Наука, 1992.


4. Боголюбов Н.В. Практическое занятия по математике. –М.: Высшая Школа, 1990.


5. М.І. Шкіль, З.І Сленкаль, О.С. Дубойчук. Алгебра і початки аналізу. К.: Зодіак – ЕКО, 1995.





Реферат на тему: Комплексні числа та дії над ними (методичка)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.