Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Георг Кантор - творець абстрактної теорії множин (реферат)

План

1. Вступ. Місце особи в історії.

2. Історична частина.

3. Математична частина.

4. Висновок.

5. Література.


1. Вступ. Місце особи в історії

Видатний тополог Павло Сергійович Александров сказав: "Думаю, що в другій половині XIX століття не існувало математика, який би мав великий вплив на розвиток математичної науки, ніж творець абстрактної теорії множин Георг Кантор”. Не всі згодяться з цим, хоча б тому, що в ті роки творив такий великий геній, як Анрі Пуанкаре. Проте неможливо заперечувати величезний, непорівнянний вплив творчості Кантора на весь подальший розвиток математики. Він збагатив нашу науку принциповими концепціями, глибокими результатами, важливими ідеями, змістовними теоріями, плідними методами…

Один із найбільших математиків всіх часів – Давид Гілберт – писав так: "Я вважаю, що вона (теорія множин Кантора) являє собою найвищий прояв людського генія, а також одне із самих високих досягнень духовної діяльності людини”. А через деякий час, коли парадокси теорії множин заставили багатьох сумніватися відносно значення цієї теорії, Гілберт промовив: "Ніхто не вижене нас з раю, який створений для нас Кантором”.

Так що ж привніс в математику Георг Кантор? Почнемо з перечислення. По суті справи Кантор висунув концепцію побудови всієї математики на базі теорії множин; він ввів основні поняття теорії множин і топології; заложив основи самої теорії множин; побудував одну із конструкцій дійсних чисел; винайшов діагональний метод; довів незліченність континууму і різну потужність просторів різної кількості вимірів; дав дивовижне доведення існування трансцендентних чисел; побудував канторівську ідеальну множину і канторівську драбину; довів не існування "вищої” потужності; довів фундаментальну теорему єдності тригонометричних рядів; поставив проблему континууму.

Вклад Кантора виявився настільки основоположним і фундаментальним, що його основні положення можна викласти "першому, хто зустрінеться”. В своїй промові на Паризькому конгресі математиків, де були сформульовані знамениті математичні проблеми, Гілберт сказав: "Математичну теорію можна вважати ідеальною тільки тоді, коли … її можна викласти першому, хто зустрінеться”. Вся творчість Кантора має цю ознаку ідеальності.

2. Історична частина

Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор народився 19 лютого (3 березня) 1845 р. в Санки-Петербурзі. Походження його батька Георга Вольдемара повністю не визначене; він народився між 1809 і 1814 р., напевне, в Копенгагені і в юнацькі роки переїхав в Петербург, де в 1842 р. одружився на Марії Анні Бем, яка походила з обдарованої музичної сім’ї. У них було четверо дітей: Георг (народився в 1845), Людвіг (н. в 1846), Софія (н. в 1848) і Костянтин (н. в 1849).

В сім’ї були сильні музичні традиції – близькі родичі матері були відомими музикантами, а брат Георга, Костянтин, став талановитим піаністом. І батько, і мати Кантора були свого роду сильними особистостями, і кожен з них помітно впливав на сина – батько, наприклад, у відношенні наполегливості у досягненні мети, а також широкої гуманітарної освіти, а мати – у відношенні культурно-релігійного напрямку інтересів. Як відомо, Георг Кантор був релігійним чоловіком і його симпатії схилялись то до лютеранства, то до католицизму; останнє в деякій мірі відбилось на його окремих філософських висловлюваннях кінця 80-х років XIX століття.

Георг Вальдемар був успішним комерсантом, власником маклерської фірми, який залишив після своєї смерті в 1863 р. немалу спадщину в півмільйона марок. Через хворобу легень він разом зі сім’єю переїхав в 1856 р. в Німеччину і після декількох переїздів посилився в Франкфурті-на-Майні, почавши там життя рантьє.

Георг закінчив початкову школу в Петербурзі. Після переїзду в Німеччину він вчився в гімназії в Вісбадені, в приватній школі у Франкфурті-на-Майні і ще деяких навчальних закладах. У нього рано проявилась схильність до математики, проте батько наполегливо радив йому стати інженером і лише незадовго до смерті поступився бажанню сина вибрати професію математика. В 1863 р. Г. Кантор перейшов із Вищої технічної школи в Цюриху, де він вчився з 1860 р., в Берлінський університет, де вивчав математику, фізику і філософію. Тут він опинився в середовищі молодих товаришів по спеціальності, які стали в згодом відомими вченими. З професорів найбільший вплив на нього мав такі видатні математики, як Куммер, Кронекер і особливо Вейєрштрас, а з його друзів того часу можна назвати, наприклад, Томе, Мертенса і Шварта. В літній семестр 1866 р. Кантор вчився в Геттингенському університеті і з місцевих викладачів виділяв філософа Лотце, фізика Вебера і математиків Міннігероде і Шерінга.

Спочатку математичні інтереси Кантора були направлені на теорію чисел. До неї відносяться його дисертація 1867 р. "Про невизначені рівняння другого степеня” і ряд наступних за нею робіт, в тому числі і твір 1869 р. "Про перетворення тернарних квадратичних форм”, який представлений ним на право читання лекцій і приніс йому звання приват-доцента в університеті в Галлі.

В Галлі інтереси Кантора змінились, в основному під впливом професора університету Гейне, в бік теорії функцій дійсної змінної; був написаний цикл робіт по цю тему. З приводу цих робіт слід зауважити, що поширена думка, нібито дослідження в теорії функцій, зокрема в теорії тригонометричних рядів, були ледь не єдиним суттєвим теоретико-множинних ідей Кантора, є не зовсім правильним. В підготовці переходу Кантора на теоретико-множинну позицію значну роль відіграли і заняття теорії чисел, і вивчення ним теорії функцій комплексної змінної і геометрії, а також його філософські інтереси.

Сімдесяті роки привели до багатьох змін в житті Кантора. В особистому плані ці зміни виразились у обранні його в 1872 р. екстраординарним професором університету в Галлі, в знайомстві в тому ж році з Дедекіндом, який вже почав роботу в теоретико-множинному напрямку; приблизно тоді ж він познайомився зі своєю майбутньою жінкою Валлі Гутман і літом 1874 р. відбулось їх весілля; в 1879 р. він був обраний ординарним професором в тому ж університеті. Це десятиліття відзначилось і переходом Кантора до побудови теорії множин. На протязі близько півтора десятка років були підготовлені його основні праці по новій математичній дисципліні.

Винятково напружений період життя і діяльності Кантора завершився драматично. В травні 1884 р. він переніс перший приступ нервової хвороби, який тривав протягом місяця. Причини захворювання залишаються не до кінця виясненими, але майже немає сумніву, що на розвиток душевної кризи впливали і надмірно інтенсивна наукова робота, поєднана до того ж з педагогічною діяльністю, і великі зусилля рішити центральне питання створеної Кантором теорії – проблему континууму. До цього слід додати нерозуміння багатьма сучасниками ідей, які розвивав Кантор, і навіть нападки окремих видних математиків і філософів того часу, особливо Кронекера, а також відоме незадоволення містом роботи в провінції при розумінні себе творцем основоположної математичної теорії, якій Кантор надавав і широке філософське значення.

В результаті намітився явний відхід Кантора від математики, чому сприяла і невдача зі статтею в журналі "Acta mathematica”: видавець журналу Міттаг-Леффер, в той час друг і послідовник Кантора, зробивший багато в розповсюдженні канторівських ідей, відмовився надрукувати статтю через її філософський зміст. В 1885 р. Кантор тимчасово відмовляється від викладання математики і починає читати лекції по філософії Лейбніца; ці лекції виявились невдалими – всі 25 слухачів, які записалися на початку курсу, поступово перестали відвідувати їх, і лектор, по свідченнях Ковалевської, дав обіцянку надалі не читати лекцій по філософії. Проте остання все таки сильно притягувала Кантора. Захоплюючись нею і раніше, він почав працювати в цій області більш енергійно. Цьому, без сумніву, сприяло те, що створена ним теорія фактично примикала до філософії, а деякі філософи і теологи (Ренувьє, Гербарт, Ізенкрае, Францелін і інші) повели атаку проти основного в новій математичній теорії поняття актуальної нескінченості; дехто з них став виражати сумніви в окремих міркуваннях Кантора, які зв’язані з трансфінітними числами. Особливо відчутними для Кантора були закиди католицьких авторитетів. Тому для нього виявилась цінною підтримка одного із провідних томістів того часу Гутберлета. Останній, як видно незалежно від Кантора, прийшов до ідеї необхідності розгляду актуально нескінчених множин, вважав актуальну нескінченість необхідною умовою розгляду потенційної нескінченості, підібрав свідчення теологів на користь своїх поглядів, хоча і відкидав існування актуально нескінчених чисел. Після ознайомлення з роботами Кантора він встановив з ним зв'язок, виступив на захист його вчення і мав на нього певний вплив в розумінні орієнтації Кантора на католицьке мислення і на подальші теологічні тлумачення деяких сторін його вчення, яке було вже розроблене до того часу на чисто математичному ґрунті.

Відвертали увагу Кантора від математики і сімейні клопоти – в 1886 р. в сім’ї появилась шоста дитина і прийшлось клопотати про придбання нового дому – и деякі нові інтереси. Близько 1884 р., можливо під впливом своєї сестри Софії, він почав цікавитися історико-літературною проблемою Шекспіра-Бекона і прийшов до висновку, що автором шекспірівських творів був Френсіс Бекон. Результатом його багаторічної інтенсивної роботи над нею стала цінна колекція книг по цій проблемі, а також три власні роботи 1896-1897 рр.

Слід відмітити і науково-організаційну діяльність Кантора. Він був одним із засновників Німецького математичного товариства, його першою головою (1890-1893) і видавцем двох перших томів його друкованого органу "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. Кантор вважав, що його наукова кар’єра постраждала від негативного відношення до його праць, і надіявся, що незалежна організація дозволить молодим математикам самостійно судити про нові ідеї і зайнятися їх розробкою. У нього був грандіозний план об’єднання математиків світу в деяку міжнародну організацію. Цей план не був здійснений, але сприяв тому, що Кантор вніс значний вклад в підготовку і проведення першого Міжнародного конгресу математиків в Цюріху в 1897 р., на якому, були високо оцінені як теорія множин, так і вклад в неї Кантора.

Все це привело до різкого ослаблення математичної продуктивності Кантора. До середини 90-х років з’явились лише важлива стаття, яка присвячена діагональному методу, невелика замітка 1889 р. із захистом канторівської теорії дійсних чисел і стаття про емпіричну перевірку гіпотези Гольдбаха про представлення парних чисел у вигляді суми двох простих чисел.

В 1895-1897 рр. Кантор опублікував свою фундаментальну роботу "До обґрунтування вчення про трансфінітні множини”. В ній без будь-яких теологічних ремінісценцій, систематично и в класично прозорому стилі були викладені всі його основні результати по загальній теорії множин. Суттєво нових відкриттів вона не містить, але одна її особливість вельми виразна. Якщо попередній цикл статей і додатків до нього роботи характеризуються тим, що створювана в них теорія будувалась як верхній поверх будівлі математичної науки, - в тому розумінні що, наприклад, арифметика, теорія чисел, алгебра, геометрія, аналіз нескінченно малих рахувались заданими і їх результати постійно використовувалися при розробці теорії множин, то тепер положення речей було обернене. Можливо, під впливом Дедекінда, який висунув ідею побудови теорії множин як фундаменту арифметики (а через програму арифметизації і всієї математики), Кантор також намагався переробити свою попередню теорію як щось незалежне і, більш того, як щось, що передує всій математиці. При цьому арифметику він, як і Дедикінд, намагався зробити дуже вузьким частковим випадком створюваного вчення.

Проте на цьому шляху Кантор незабаром зіштовхнувся з ще важчими перешкодами, ніж та ж гіпотеза континууму при початковому підході. Як свідчать його листи Дедекінду 1899 р., а ще швидше – лист, що не зберігся, Гілберта 1896 р., Кантор впритул підійшов до парадоксів теорії множин, і криком душі виступає лист від 28 серпня 1899 р., в якому він визнає недоведеність несуперечності існування основних об’єктів своєї теорії – цілком впорядкованих множин і алефів, включаючи скінченні, і пропонує прийняти факт їх несуперечності за просту істину, що не доводиться, за аксіому. Кантор ще пробує знайти якийсь вихід, в деякому розумінні заглядає в майбутню теорію класів, але сили його вже покидають. З 1899 р. почали частішати приступи нервової хвороби, в 1890 р. він звільняється від університетських обов’язків на цілий семестр, а тоді робить це в 1902-1903, 1904-1905, 1907-1908 навчальних роках, майже на протязі всього наступного навчального року, в 1911 р. В 1913 р. він, на кінець, йде у відставку. Разом з тим в перші роки XX століття незадоволений своїм положенням в Німеччині, відсутністю, як йому здавалось, інтересу до його ідей в цій країні, він намагається отримати місце професора в одному із університетів Великобританії і навіть заходить розмова про переїзд в Америку. Проте він все частіше попадає в спеціальні лікарні, в тому числі в нервову клініку в Галлі, де і помер 6 січня 1918 р.

3. Математична частина.

Перші роботи Кантора посвячені тригонометричним рядам (рядам Фур’є). По ходу цих досліджень він створив теорію ірраціональних чисел, яка отримала широке визнання. Розробив теорію нескінчених множин і теорію трансфінітних чисел. Довів незліченність множини всіх дійсних чисел (1874 р.), встановив існування нееквівалентних (тобто тих, що мають різні потужності) нескінчених множин. Сформував загальне поняття потужності множини (1878 р.). Розвинув принципи порівняння потужності множини і доказав еквівалентність множини точок лінійного відрізка і точок n- мірного простору. Систематично виклав принципи свого вчення про нескінченості, довів існування трансцендентних чисел, використовуючи припущення про потужності множин (1879-1884 рр.). Ввів поняття граничної точки довільної множини, сформував аксіому неперервності, названу його ім’ям. Створена Кантором теорія множин не тільки лежить нині в основі математичного аналізу, але й послужила причиною загального перегляду логічних основ математики і вплинула на всю сучасну структуру математики. В теорії чисел Кантор займався перевіркою проблеми X. Гольдбаха для парних чисел (до 1000), представленням чисел у вигляді нескінчених похідних.

Поняття "множина(або "сукупність) відноситься до категорії початковий і невизначених. Його можна лише тлумачити і ілюструвати на прикладах. "Під множиною, – писав Кантор, - я розумію взагалі всяке різне, що мислиться нами, як єдине.

Андрію Николайовичу Колмогорову належать такі слова; "В основі всієї математики лежить чиста теорія множин”, - і цей вислів відображає погляд на побудову математики, який проповідувався багатьма математиками його часу. Та ідеологія, по суті своїй, - духовне творіння Кантора.

Наполегливе прагнення Кантор розглянути нескінченість як щось актуально дане було для того часу новизною. Кантор придумував свою теорію як зовсім нове розуміння нескінченості, "трансфінітну” ("надскінчену”) математику. На його думку, створення такого обчислення повинне було привести до перевороту не лише в математиці, але й в метафізиці і теології. Титанічна спроба Георга Кантора, втім, закінчилась дивно: в теорії були виявлені парадокси, які ставили під сумніви і значення улюбленої ідеї Кантора - "драбини алефів”, послідовного ряду трансфінітних чисел. (Ці числа широко відомі в прийнятому ним позначенні: у вигляді букви алеф - першої букви єврейського алфавіту).

Своєрідність його бачення, не дивлячись на всі переваги підходу, обумовили різке неприйняття його робіт великою частиною вчених. Десятиліттями він вів наполегливу боротьбу практично зі всіма сучасниками-філософами і математиками, які відкидали законність побудови математики на фундаменті актуально-нескінченого. Деякі прийняли це як виклик, оскільки Кантор вважав існування множин або послідовностей чисел, які мають нескінченно багато елементів. Знаменитий математик Пуанкаре назвав теорію трансфінітних чисел "хворобою, від якої математика повинна коли-небудь вилікуватися. Л. Кронекер - вчитель Кантора і один із самих авторитетних математиків Німеччини - навіть нападав на Кантора, називаючи його "шарлатаном”, "ренегатом”! Тільки в 1890 р., коли були отримані додатки теорії множин до аналізу і геометрії, теорія Кантора отримала визнання в якості самостійного розділу математики.

4. Висновок

Він був єдиним математиком і філософом, який вважав, що актуальна нескінченість не тільки існує, але і в повному сенсі може бути осягнута людиною, і осягнення це буде піднімати математиків, а вслід за ними і теологів, все вище – і ближче до Бога. Цій задачі він присвятив життя. Вчений твердо вірив, що він обраний Богом, щоб здійснити великий переворот в науці.

5. Література

1. Математический энциклопедический словарь. Москва, Советская энциклопедия, 1988.

2. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. Георг Кантор. Теория множеств.

3. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант” (1995 г., номер 5). Тихомиров В. "Георг Кантор. К 150-летию со дня рождения”.





Реферат на тему: Георг Кантор - творець абстрактної теорії множин (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.