Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Геометричні фігури та властивості середніх ліній (реферат)

ЗМІСТ

Вступ.

 

Розділ 1. Властивості середніх ліній.

Розділ 2. Трикутник, чотирикутник, паралелограм.

Розділ 3. Чотирикутник, тетраедр. Центри мас.

Розділ 4. Тетраедр, октаедр, паралелепіпед, куб.

Висновок.

Список використаної літератури.

Додаток.

Вступ.

Геометрія є невід'ємною складовою загальної культури, а геометричні методи служать інструментом пізнання світу, сприяють формуванню наукових уявлень про навколишній простір, розкриття гармонії і досконалості Всесвіту. Геометрія починається з трикутника. Ось вже два тисячоліття трикутник є як би символом геометрії, але він не символ. Трикутник - атом геометрії. Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний том порівнянний за об'ємом з томом Великої енциклопедії. Я хочу розповісти про середні лінії геометричних фігур і їх властивості.

У даній роботі простежується ланцюг теорем, який охоплює весь курс геометрії. Він починається з теореми про середні лінії трикутника і приводить до цікавих властивостей тетраедра і інших багатогранників.

Середня лінія фігур - відрізок, що з'єднує середини двох сторін даної фігури.

1. Властивості середніх ліній

 

1. Властивості трикутника:

• при проведенні всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівних трикутника, подібних вихідного з коефіцієнтом 1 / 2.

• середня лінія паралельна основі трикутника і дорівнює його половині;

• середня лінія відсікає трикутник, який подібний даному, а його площа дорівнює одній чверті його площі.

2. Властивості чотирикутника:

• якщо в опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.

• довжина середньої лінії чотирикутника менше півсумі двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.

• середини сторін довільного чотирикутника - вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, а його центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньона;

• Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою спільною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.

3. Властивості трапеції:

• середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх півсумі;

• середини сторін рівнобедреної трапеції є вершинами ромба.

2. Трикутник, чотирикутник, паралелограм

 

До будь-якого трикутника KLM можна прилаштувати три рівних йому трикутника АКМ, BLK, CLM, кожен з яких утворює разом з трикутником KLM паралелограм (рис. 1). При цьому AK = ML = KB, і до вершини К приєднані три кути, рівні трьом різним куткам трикутника, в сумі становлять 180 °, тому К - середина відрізка АВ; аналогічно, L - середина відрізка ВС, а М - середина відрізка СА.

Теорема 1. Якщо з'єднати в будь-якому трикутнику середини сторін, ми отримаємо чотири рівні трикутника, причому середній становить з кожним з трьох інших паралелограм.

У цьому формулюванні беруть участь відразу всі три середні лінії трикутника.

Теорема 2. Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, паралельний третій стороні трикутника і дорівнює її половині (див. рис. 1).

Саме ця теорема і обернена до неї - про те, що пряма, паралельна основі і що проходить через середину однієї бічної сторони трикутника, ділить навпіл і іншу бічну сторону, - частіше за все потрібні при вирішенні задач.

З теореми про середні лінії трикутника випливає властивість середньої лінії трапеції (рис. 2), а також теорема про відрізки, що з'єднують середини сторін довільного чотирикутника.

Теорема 3. Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма. Сторони цього паралелограма паралельні діагоналям чотирикутника, а їх довжини рівні половинам довжин діагоналей.

Справді, якщо К і L - середини сторін АВ і ВС (рис. 3), то KL - середня лінія трикутника ABC, тому відрізок KL паралельний діагоналі АС і дорівнює її половині, якщо М і N - середини сторін CD і AD, то відрізок MN також паралельний АС і дорівнює АС / 2. Таким чином, відрізки KL і MN паралельні і рівні між собою, значить, чотирикутник KLMN - паралелограм.

Як наслідок з теореми 3 отримуємо цікавий факт (т. 4).

Теорема 4. У будь-якому чотирикутнику відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін, діляться точкою перетину навпіл.

У цих відрізках можна побачити діагоналі паралелограма (див. рис. 3), а в паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл (ця точка - центр симетрії паралелограма).

Ми бачимо, що теореми 3, 4 і наші міркування залишаються вірними і для неопуклого чотирикутника, і для самоперетинающоїся чотирикутної замкнутої ламаної (рис. 4; в останньому випадку може виявитися, що паралелограм KLMN «вироджений» - точки K, L, M, N лежать на одній прямій).

Покажемо, як з теорем 3 та 4 можна вивести основну теорему про медіану трикутника.

Теорема 5. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2:1 (рахуючи від вершини, з якої проведена медіана).

Проведемо дві медіани AL і СК трикутника ABC. Нехай О - точка їх перетину. Середини сторін неопуклого чотирикутника АВСО - точки K, L, M, N (рис. 5) - вершини паралелограма, причому точкою перетину його діагоналей КМ і LN для нашої конфігурації буде точка перетину медіан О. Отже, AN = NO = OL і CM = MO = OK, тобто точка О ділить кожну з медіан AL і СК у відношенні 2:1.

Замість медіани СК ми могли б розглянути медіану, проведену з вершини В, і переконатися, що точно так і вона ділить медіану AL у відношенні 2:1, тобто проходить через ту ж точку О.

3.Чотирикутник і тетраедр. Центри мас.

Теореми 3 і 4 вірні і для будь-просторової замкнутої ламаної з чотирьох ланок АВ, ВС, CD, DA, чотири вершини А, В, С, D якої не лежать в одній площині.

Такий просторовий чотирикутник можна отримати, вирізавши з паперу чотирикутник ABCD і зігнувши його по діагоналі під деяким кутом (рис. 6, а). При цьому ясно, що середні лінії KL і MN трикутників ABC і ADC залишаються як і раніше їх середніми лініями і будуть паралельні відрізку АС і рівні АС / 2. (Тут ми використовуємо той факт, що для простору залишається вірним основна властивість паралельних прямих: якщо дві прямі KL і MN паралельні третьої прямий АС, то KL і MN лежать в одній площині і паралельні між собою.)

Таким чином, точки K, L, M, N - вершини паралелограма; тим самим відрізки КМ і LN перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Замість чотирикутника тут можна говорити про тетраедр - трикутної піраміди ABCD: середини К, L, M, N його ребер АВ, AC, CD та DA завжди лежать в одній площині. Розрізавши тетраедр по цій площині (рис. 6, б), ми отримаємо паралелограм KLMN, дві сторони якого паралельні ребру АС та є рівними АС / 2, а дві інші - паралельні ребру BD і рівні BD / 2.

Такий же паралелограм - «середній перетин» тетраедра - можна побудувати і для інших пар протилежних ребер. Кожні два з цих трьох паралелограмів мають загальну діагональ. При цьому середини діагоналей збігаються. Отже, ми отримуємо цікавий наслідок:

Теорема 6. Три відрізка, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл (рис. 7).

Цей та інші обговорювані вище факти пояснюються мовою механіки - за допомогою поняття центру мас. У теоремі 5 йдеться про одну з чудових точок трикутника - точці перетину медіан; в теоремі 6 - про чудову точку для четвірки вершин тетраедра. Ці точки - центри мас відповідно трикутника і тетраедра. Повернемося спочатку до теоремі 5 про медіану.

Розмістимо в вершинах трикутника три однакових вантажі (рис.8).

Масу кожного приймемо за одиницю. Знайдемо центр мас цієї системи вантажів.

Розглянемо спочатку два вантажі, що знаходяться в вершинах А і В: їх центр мас розташований в середині відрізка АВ, так що ці вантажі можна замінити одним вантажем масою 2, поміщених у середину К відрізка АВ (рис. 8, а). Тепер потрібно знайти центр мас системи з двох вантажів: одного масою 1 в точці С і другого - масою 2 у точці К. За правилом важеля, центр мас такої системи знаходиться в точці О, що ділить відрізок СК у відношенні 2:1 (ближче до вантажу в точці К з більшою масою - рис. 8, б).

Ми могли спочатку об'єднати вантажі в точках В і С, а потім - отриманий вантаж масою 2 в середині L відрізка ВС - з вантажем в точці А. Чи спочатку об'єднати вантажі А і С, а. потім приєднати В. У будь-якому випадку ми отримаємо той же результат. Центр мас знаходиться, таким чином, в точці О, що ділить кожну з медіан у відношенні 2:1, рахуючи від вершини. Подібними міркуваннями можна було пояснити і теорему 4 - той факт, що відрізки з'єднуючі середини протилежних сторін чотирикутника, ділять одне одного навпіл (служать діагоналями паралелограма): досить помістити в вершинах чотирикутника однакові вантажі й об'єднати їх попарно двома способами (рис. 9).

Рис. 9.

Звичайно, чотири одиничних вантажі, розташованих на площині або в просторі (в вершинах тетраедра), можна розбити на дві пари трьома способами; центр мас знаходиться посередині між серединами відрізків, що з'єднують ці пари точок (рис. 10) - пояснення теореми 6. (Для плоского чотирикутника отриманий результат виглядає так: два відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін, і відрізок, що з'єднує середини діагоналей, перетинаються в одній точці О і діляться нею навпіл).

Через точку О - центр мас чотирьох однакових вантажів - проходять ще чотири відрізка, що з'єднують кожен з них з центром мас трьох інших. Ці чотири відрізка діляться точкою О в відношенні 3:1. Щоб пояснити цей факт, потрібно спочатку знайти центр мас трьох вантажів і потім приєднати четвертий.

4. Тетраедр, октаедр, паралелепіпед, куб

На початку роботи ми розглянули трикутник, розбитий середніми лініями на чотири однакових трикутника (див. рис. 1). Спробуємо зробити ту ж побудову для довільної трикутної піраміди (тетраедра). Розпиляємо тетраедр на частини таким чином: через середини трьох ребер, що виходять з кожної вершини, проведемо плоский розріз (рис. 11, а). Тоді від тетраедра буде відрізано чотири однакових маленьких тетраедра. За аналогією з трикутником можна було б думати, що в серединці залишиться ще один такий же тетраедр. Але це не так: у багатогранника, який залишиться від великого тетраедра після видалення чотирьох маленьких, буде шість вершин і вісім граней - він називається октаедром (рис. 11,6). Зручно перевірити це, використовуючи шматок сиру у формі тетраедра. Отриманий октаедр має центр симетрії, оскільки середини протилежних ребер тетраедра перетинаються в загальній точці і діляться нею навпіл.

З трикутником, розбитим середніми лініями на чотири трикутника, пов'язана одна цікава конструкція: цей малюнок ми можемо розглянути як розгортку деякого тетраедра.

Уявімо собі гострокутній трикутник, вирізаний з паперу. Перегнув його за середніми лініях так, щоб вершини зійшлися в одній точці, і склеївши сходяться в цій точці краю паперу, ми отримаємо тетраедр, у якого всі чотири грані - рівні трикутники, його протилежні ребра рівні (рис. 12). Такий тетраедр називається напівправильний. Кожне з трьох «середніх перерізів» цього тетраедра - паралелограмів, сторони яких паралельні протилежним ребрам і рівні їх половині, - буде ромбом.

Тому діагоналі цих паралелограмів - три відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер - перпендикулярні один одному. Серед численних властивостей напівправильного тетраедра відзначимо таке: сума кутів, що сходяться в кожній його вершині, дорівнює 180 ° (ці кути відповідно рівні кутам вихідного трикутника). Зокрема, якщо почати з розгорнення у формі рівностороннього трикутника, ми отримаємо правильний тетраедр, у якого всі сторони рівні.

На початку роботи ми бачили, що кожен трикутник можна розглядати як трикутник, утворений середніми лініями більшого трикутника. Прямої аналогії в просторі для такої побудови немає. Але виявляється, що будь-який тетраедр можна розглядати як «серцевину» паралелепіпеда, у якого всі шість ребер тетраедра служать діагоналями граней. Для цього потрібно виконати наступну побудову в просторі. Через кожне ребро тетраедра проведемо площину, паралельну протилежного ребру. Площини, проведені через протилежні ребра тетраедра, будуть паралельні одна одній (вони паралельні площині «середнього перетину» - паралелограма з вершинами в серединах чотирьох інших ребер тетраедра). Так виходять три пари паралельних площин, при перетині яких утворюється потрібний паралелепіпед (дві паралельні площини перетинаються третьою по паралельним прямим). Вершини тетраедра служать чотирма несуміжними вершинами побудованого паралелепіпеда (рис. 13). Навпаки, в будь-якому паралелепіпеді можна вибрати чотири несуміжні вершини і відрізати від нього площинами, що проходять через кожні три з них, кутові тетраедри. Після цього залишиться «серцевина» - тетраедр, ребра якого є діагоналями граней паралелепіпеда.

Якщо вихідний тетраедр напівправильний, то кожна грань побудованого паралелепіпеда буде паралелограмом з рівними діагоналями, тобто прямокутником.

Вірно і зворотне: «серцевиною» прямокутного паралелепіпеда служить напівправильні тетраедр. Три ромба - середні перетину такого тетраедра - лежать в трьох взаємно перпендикулярних площинах. Вони служать площинами симетрії октаедра, отриманого з такого тетраедра відрізанням кутів.

Для правильного тетраедра описаний навколо нього паралелепіпед буде кубом (рис. 14), а центри граней цього куба - середини ребер тетраедра - будуть вершинами правильного октаедра, всі грані якого - правильні трикутники. (Три площини симетрії октаедра перетинають тетраедр по квадратах.)

Таким чином, на малюнку 14 ми бачимо відразу три з п'яти платонових тіл (правильних багатогранників) - куб, тетраедр і октаедр.

Висновок.

Виходячи з виконаної роботи можна зробити наступні висновки:

1. Середні лінії мають різні корисні властивості в геометричних фігурах.

2. Одну теорему можна довести за допомогою середньої лінії фігури, а також пояснити її мовою механіки - за допомогою поняття центру мас.

3. За допомогою середніх ліній можна побудувати різні планіметричні (паралелограм, ромб, квадрат) і стереометричні фігури (куб, октаедр, тетраедр та ін.)

4. Властивості середніх ліній допомагають раціонально вирішити завдання будь-яких рівнів.

Додаток

1. Чому середня лінія трапеції не може пройти через точку перетину діагоналей?

2. BCDA1 B1C1D1 -паралелепіпед. Точки Е і F точки перетину діагоналей граней. АА1В1В і ВВ1С1С відповідно, а точки К і Т - середини ребер AD і DC відповідно. Чи правда, що прямі EF і КТ паралельні?

3. У трикутній призмі АВСА1В1С1 окуляри О і F середини ребер AB і BС відповідно. Точки Т і К середини відрізків AB1 і ВС1 відповідно. Як розташовані прямі ТК і OF?

4. АВСА1В1С1 правильна трикутна призма, всі ребра якої рівні між собою. Точка О - середина ребра СС1, а точка F лежить на ребрі ВВ] так, що BF: FBX = 1:3. Побудуйте точку К, в якій пряма l, що проходить через точку F паралельно прямий АТ, перетинає площину ABC. Обчислити площу повної поверхні призми, якщо KF = 1 см.

Список використаної літератури

1. Щомісячний науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СССР и Академії педагогічних наук літератури. " Квант № 6 1989 р. с. 46.

2. С. Аксимова. Цікава математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997 р. с. 526.

3. В.В. Шлыков, Л.Е. Зезетко. Практические занятия по геометрии, 10 кл.: пособие для учителей.- Мн.: ТетраСистемс, 2004 г. с. 68,76, 78.





Реферат на тему: Геометричні фігури та властивості середніх ліній (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.