Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Дослідження сумісності системи лінійних рівнянь матричним методом, за формулами Крамера та методом Гауса - 8 варіант (контрольна робота)

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №9 ВАРІАНТ №23

12.23. ДОСЛІДЖЕННЯ СУМІСНОСТІ СИСТЕМИ

Рішення:

Матриця має вигляд:

А =

Віднімаємо перший рядок матриці А від всіх інших її рядків (1), після цього

додаємо другий рядок до третього (2), дістанемо:

А = ~ (1) ~ (2);

= -12 ; = -12 (6 – 1) = 60 ¹ 0; ранг матрицы r(A) = 3

Далі віднімаємо перший рядок матриці від всіх її інших рядків (1), додаємо

другий рядок до третього рядка (2), маємо:

= ~ (1) ~ (2);

= 41; = 41(-3 +8) = 205 ¹ 0; ранг матрицы r( ) = 3

Отже, задана система сумісна, оскільки r(A) = r( ) = 3

13.23. Розв'язати систему: а) матричним методом; Б) методом ГАУСА

а) матричним методом

Запишемо систему рівнянь у матричній формі: [A] = B

Þ

[A] = = 29 ¹ 0; [ ] = ;

Матриця [A] невироджена, тому систему рівнянь у матричній формі домножимо зліва на матрицю, обернену до матриці [A]:

[A]-1[A] = [A]-1 Þ [A]-1

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

A11 = = 7, A12 = - = -17, A13 = = -16,

A21 = - = 10, A22 = = -17, A23 = - = -1,

A31 = = 2, A32 = - = 17, A33 = = 10

Обернена матриця має вигляд:

[A]-1 =

Рішення системи:

В зв'язку з тим, що в електронних таблицях є операції обернення і добутку матриць, то для перевірки рішення задачі розв'язок системи рівнянь можна знайти у матричній формі.

Для цього:

1. Введемо в оболонку електронних таблиць: матрицю [A], вектор вільних членів ;

2. Використовуючи вбудовану математичну функцію МОБР, знаходимо обернену матрицю [A]-1;

3. Знаходимо вектор розв'язку системи рівнянь, помноживши [A]-1 на .

 

МАТРИЧНА ФОРМА

 

 

 

 

X

Y

Z

 

1

 

3

2

-4

 

4

[A] =

2

-2

3

B =

2

 

5

3

-1

 

 

 

Обернена матриця

 

 

 

 

0,137255

0,196078

0,039216

 

 

[A]^-1 =

-0,33333

-0,33333

0,333333

 

 

 

-0,31373

-0,01961

0,196078

 

 

 

Вектор розв'язку системи рівнянь

 

 

X =

 

1

 

 

 

Y =

 

-1

 

 

 

Z =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВІДПОВІДЬ: x = 1; y = -1; z = 0

б) методом Гауса

Запишемо систему рівнянь у матричній формі, щоб зручніше було б приводити до

ступеневого вигляду для послідовного виключення невідомих.

Þ

Міняємо місцями перші два рядки (1), потім перший рядок поділений на 2,

помножимо на 3 і 5 і віднімаємо від двох останніх (2).

(1) ~ (2)

Потім змінюємо знаки в другому рядку, ділимо його на 5 і множимо його на 8 та

додаємо до третього (3).

(3)

Поділивши після цього останній рядок на –5,1, дістанемо:

(4)

Система має так званий трикутний вигляд:

Отже маємо наступні результати: z = 0, підставивши це значення в друге рівняння здобудемо у = -1, з першого рівняння знаходимо х = 1

ВІДПОВІДЬ: x = 1; y = -1; z = 0

13.23. Розв'язати систему методом Жордана – ГАУСА

Рішення:

Запишемо коефіцієнти і вільні члени в таблицю:

x1

x2

x3

b

3

5

-2

8

2

3

2

2

3

7

5

1

Виконаємо перетворення Жордана – Гаусса.

Візьмемо за розв'язальний елемент коефіцієнт при х1 (він дорівнює 3) в першому рівнянні. Перепишемо без змін перший рядок. Застосуємо "правило прямокутника” до всіх інших елементів таблиці.

x1

x2

x3

b

3

5

-2

8

0

-0,33333

3,333333

-3,33333

0

2

7

-7

Поділимо всі елементи другого рядка на 0,33333

x1

x2

x3

b

3

5

-2

8

0

1

-10

10

0

2

7

-7

Візьмемо за розв'язальний елемент другий елемент другого рядка. Перший стовпець і другий (розв'язальний) рядок перепишемо без змін, елементи другого (розв'язального) стовпця замінимо нулями. Інші елементи таблиці перетворимо за "правилом трикутника”.

x1

x2

x3

b

3

0

48

-42

0

1

-10

10

0

0

27

-27

Поділимо всі елементи третього рядка на 27:

x1

x2

x3

b

3

0

48

-42

0

1

-10

10

0

0

1

-1

Таким чином, здобуто систему, еквівалентну заданій:

,

тобто х3 = -1

х2 = 10 + 10х3 = 0

х1 = (-42 – 48х3) / 3 = 2

ВІДПОВІДЬ: х3 = -1; х2 = 0; х1 = 2

17.23 Звести до стандартНОЇ форми задачу ЛІНІЙНОГО програмування

f = 2x1 + x2 + x3 - 2x4 - x5 ® min

x1 ³ 0; j =

Рішення:

Систему рівнянь переведемо в розширену матрицю і знайдемо її базис:

» (1) » (2)

Отже, ранг матриці r = 2, х1, х2 - базисні змінні, х3, х4, х5 – вільні змінні.

Система відносно базисних змінних має такий вид:

Звідки маємо нерівності:

Вилучимо базисні зміни з цільової функції (для max):

f = 2x1 + x2 + x3 - 2x4 - x5 = 2(22 – x3 – x4 – 2x5) + 2x3 + x4 + x5 + x3 - 2x4 - x5 =

= 44 – 2x3 – 2x4 – 4x5 + 3x3 - x4 = 44 + x3 - 3x4 - 4x5

Оскільки min F = - max (-F), то F1 = - F, то базисні зміни для min:

F1 = - F = -44 - x3 + 3x4 + 4x5

Отже стандартна форма задачі:

F1 = -44 - x3 + 3x4 + 4x5 ® min

х3, ³ 0, х4 ³ 0

18.23 РОЗВ'ЯЗАТИ графічним методом задачу лінійного програмування

F1 = - x1 + x2 ® min

х1, ³ 0, х2 ³ 0

Рішення:

На площині 0х1х2 будуємо прямі:

L1: -2x1 + x2 = 5

L2: x1 – 2x2 = 2

L3: x1 + x2 =5

1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

-1

0

X2

X1

L2: x1 – 2x2 = 2

L3: x1 + x2 =5

L1: -2x1 + x2 = 5

d

L: -x1 + x2 =0

N: -x1 + x2 = 0

C

M


 

Визначаємо півплощини, в яких виконуються нерівності. Для цього пробну точку с координатами (0;0), яка не належить жодній прямій, підставляємо у кожну нерівність.

У кожному випадку нерівність задовольняється: 0 < 2; 0 < 2; 0 < 5, а це значить, що півплощина розв'язків розміщена з боку вибраної точки (всі три півплощини містять цю пробну точку). В перетині всіх півплощин одержали многокутник розв'язків D.

Будуємо радіус-вектор = (-1; 1) і лінію рівняння L: - x1 + x2 =0/

Паралельним зміщенням прямої L визначаємо вершини С, М многокутника, в яких функція досягає відповідно мінімуму та максимуму.

Оскільки точка С є перетином граничних прямих L1, L3 , то її координати

знаходяться із системи:

Þ х1 = 0; х2 = 5 Þ С(0; 5)

Точка М є перетином граничних прямих L2, L3 , то її координати знаходяться із

системи:

Þ х1 = 4; х2 = 1 Þ С(4; 1)

Підставивши координати цих точок у цільову функцію, обчислюємо:

Fmin = - x1 + x2 = 5

ВІДПОВІДЬ: Fmin = 5

19.23 РОЗВ'ЯЗАТИ симплексним методом задачу лінійного програмування

(всі змінні ³ 0)

f = x1 + x2 + x3 + x4 ® max

РІШЕННЯ:

Запишемо систему рівнянь у базисній формі:

Тут х3, х4 – базисні, х1, х2 – вільні:

Прирівнюючи вільні змінні до нуля, одержимо базисний розв'язок =(0; 0; 1,5; 10), який приймемо за початковий опорний план. Для перевірки цього плану складемо

симплекс-таблицю.

Сs

Хs

b

1

1

1

1

0

А1

А2

А3

А4

А

1

х3

6

2

-1

1

0

0

1

х4

10

1

-1

0

1

1

D

16

2

-3

0

0

0

Обчислюємо F0 = Сs ´ b = 6 + 10 = 16

Z1 = Сs ´ А1 = 1´ 2 + 1 ´ 1 = 3; Z2 = Сs ´ А2 = 1 ´ (-1) + 1 ´ (-1) = -2

Z3 = Сs ´ А3 = 1´ 1 + 1 ´ 0 = 1; Z4 = Сs ´ А4 = 1 ´ 0 + 1 ´ 1 = 1

D1 = z1 – c1 = 3 – 1 = 2; D2 = z2 – c2 = -2 – 1 = -3; D3 = z3 – c3 = 1 – 1 = 0;

D4 = z4 – c4 = 1 – 1 = 0

Ці дані занесемо у таблицю.

Серед оцінок вільних змінних є від'ємна: D2 = -3 < 0, що позволяє покращити опорний план, ввівши до базисних змінних Х1.

Визначимо змінну, яку вилучимо із базисних.

,

тобто з базису вилучимо змінну х3 і елемент а11 = 2. Над елементами симплексної таблиці виконаємо перетворення Жордана – Гаусса і одержимо другу симплекс-таблицю.

Сs

Хs

b

1

1

1

1

0

А1

А2

А3

А4

А

4

х1

3

1

-1/2

1/2

0

0

1

х4

5

0

-1/2

-1/2

1

1

D

17

0

-2

1

0

0

Знову проглянемо D-рядок. Оскільки D2 = -2 < 0, то одержаний опорний план не оптимальний і його можна покращити, ввівши змінну х2 замість х3.

Виконаємо виключення Жордана з ведучим елементом а22, і одержимо третю таблицю

Сs

Хs

b

1

1

1

1

0

А1

А2

А3

А4

А

4

х1

7

1

0

1/3

0

1/3

1

х2

10

0

0

-2/3

1

1/3

D

31

0

0

2

0

2/3

Як бачимо з третьої таблиці, всі коефіцієнти рядка оцінок невід'ємні: Di ³ 0; j =

Отже, маємо оптимальний план Х = (7; 10; 0; 0;) при якому Fmax = 31





Реферат на тему: Дослідження сумісності системи лінійних рівнянь матричним методом, за формулами Крамера та методом Гауса - 8 варіант (контрольна робота)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.