Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Аналітична геометрія на площині (реферат)

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х'=х-а, у'=у-в,

де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х''] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х'cosa- у'sina; y= x'sina+ y'cоsa,

де (х,у) - старі координати точки, ''] - її нові координати, a - кут повороту.

3. Відстань між точками 11) і 22):

d=

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями 11) і 22) в даному відношенні l:

x= y= .

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х= у= .

5. Площа трикутника з вершинами 11), (х22) і 33):

S= .

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к=tgj (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,

в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

7. tgq= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.

Умова паралельності прямих: к/.

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).

II.Диференціальне числення функцій

однієї змінної. 

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…

4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту аргументу х:

5. Умова неперервності функції у=f(x):

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:

, (1)

де і, уі) є DSi (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок DSi.

Якщо f(x, y)³0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об'єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a£x£b, y1(x)£y£y2(x),

де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r,

де x=r cosj, y=rsinj має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a£j£b, r1(j)£r£r2(j), то

4. Якщо r=r(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r=1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r=1.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:

, (4)

де (xi, yi, zi) є DVi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок DVi .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V.

9. Об¢єм тіла V дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с222

17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):

r=±(Ex-a), r/=±(Ex+a),

де Е= - ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у= .

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с¹0)

- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:

у2=2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах2+Вх+С

- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:

r tgj=

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r і j.

x=r cosj, y=r sinj.

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)

3

f¢/(x0)=0 або f¢/(x0) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:

1) f¢/(x0)=0, f¢/(x0-h1)f¢/(x0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і h2>0, або

2) f¢/(x0)=0, f¢¢/(x0)¹0

12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f¢¢/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f¢¢/(x)<0.

- Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x) при x=x0: f¢¢/(x0)=0 або f¢¢/(x0)не існує.

- Достатня умова точки перегину при х=х0:

f ¢¢(x0)=0, f¢¢/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] і f(a)f(b)<0, то корінь x рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б) , де f ¢(a)¹0; f(a)-f¢(a)>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х: dx=x. Диференціал функції у=f(x):dy=y¢dx. Зв'язок приросту y функції з диференціалом dy функції:

y=dy+ax, де a→0 при х→0.

Таблиця диференціалів функцій.

1) dun=nun-1du; 7) d(ctg u)=-

2) dau=auln a du (a>0); deu=eudu; 8) d(arcsin u)=

3)d(logau)= ; 9) d(arccos u)=-

6

№ п/п

Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння

Вигляд загального розв¢язку

1

Корені k1 i k2 дійсні і різні

2

Корені рівні k1 = k2

3

Корені комплексні k1=ab k2=ab

9. Таблиця 2.

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).

№ п/п

Права частина f(x)

Випадки

Частинний розв¢язок

1

f(x)=aemx (a,m - сталі)

1) m2+pm+q¹0,

2) m2+pm+q=0:

a) p2-4q>0,

b) p2-4q<0.

z=Aemx,

---------

z=Axemx,

z=Ax2emx.

2

f(x)=Mcoswx+Nsinwx (M,N,w - сталі, w¹0)

1) p2+(q-w2)2¹0,

2) p=0, q=w2.

z=Acoswx+Bsinwx,

z=x(Acoswx+Bsinwx)

3

f(x)=ax2+bx+c

(a,b,c – сталі)

1) q¹0,

2) q=0, p¹0.

z=Ax2+Bx+C,

z=x(Ax2+Bx+C).

A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), дорівнює

(1)

Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a£x£b), то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.

Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [a, b]), то

.

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К.

3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і

, (3)

де 11) – початкова точка шляху і 2, у2) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y).

24

графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Правила і формули диференціювання:

а) C¢=0; б) (U+V-W)¢=U¢+V¢-W¢;

в) (CU)¢=CU¢; г) (UV)¢=U¢V+V¢U;

д) е)

є) ; и) n)¢=n xn-1, x¢=1;

і) (sin x)¢=cos x; ї) (cos x)¢=-sin x;

й) (tg x)¢=sec2x; к) (сtg х)¢=-cosec2x;

л) м) x)¢=ax ln a, (ex)¢=ex.

н) rcsin x)¢= o) (arccos x)¢= ;

п) (arctg x)¢= р) (arcctg x)¢=

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f¢/(x), де x є (х12).

8. Функія у=f(x) зростає, якщо f¢/(x)>0, і спадає, якщо f¢(x)<0.

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x0)+f¢/(x0)(x-x0)+…+

де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0.

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0:

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де a¹0.

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f1(x)+f2(x)

б) метод підстановки: якщо x=j(t), то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F¢(x)=f(x), то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , (n=1, 2,…).

IX.Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u*x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y¢+b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u*v,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y¢+b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y¢¢=f(x), то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y¢¢=f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y¢¢=f(у¢), то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у¢.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у¢¢=f(x, y¢), то приймаючи у¢=р(х), отримуємо:

;

б) якщо у¢¢=f(у, y¢), то приймаючи у¢=р(у), отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=0 має вигляд

у=С1у12у2,

де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=f(x) має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1.

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0.

22

(a>0,a¹1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f¢(u)du.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+x)-f(x)»f¢(x)x 

16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0:

d2y=у''dx2.

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.

1) (m¹-1).

2) , (при х<0 i при x>0).

3) ;

4) (a>0, a¹1).

5) .

7

де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)³0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r=f(j) (r i j - полярні координати) і двома промінями j=a, j=b (a<b): .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):

.

16. Довжина дуги гладкої кривої r=f(j) в полярних координатах j і r від точки j=a до точки j=b (a<b):

,

17. Довжина дуги гладкої кривої х=j(t) y=y(t), задано параметрично (t0<T):

18.Об'єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):

10

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) , при êxú < 1;

б) ln(1+x) = , при –1<x£1;

в) , при êxú £ 1;

г) , при êxú < +¥;

д) ,

при êxú < +¥;

е) , при êxú < +¥;

ж) ,

при êxú < 1.

11. Ряд Тейлора.

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера: , .

15. Тригонометричний ряд Фур¢є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд:

, (1)

де , (n=0, 1, 2,…);

, (n=1, 2,…).

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2p маємо ,

де , (n=0, 1, 2,…).

В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

,

де , (n=0,1, 2,…).

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

,

20

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) ; б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то

, де а<c<b.

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а=j(a), b=j(b).

10. Формула трапецій: ,

9

z=r(cosj+isinj), де r=êzú; j=Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) êz1+z2÷ £ êz1ú + êz2ú; б) êz1z2÷ £ êz1ú êz2ú,

Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;

в) Arg =Arg z1-Arg z2; (z2¹0);

г) êzn÷ = êzú n; Arg zn=n Arg z (n - ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k=0,1,2,…,n-1)

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r eij, де z = êzú, j = Arg z.

8. Визначник другого порядку:

.

9. Розв'язок системи знаходяться за формулами: х=Dх/D; у=Dу/D (правило Крамера), де

.

10. Розв'язок однорідної системи: визначається за формулами: х=D1t, y=-D2t, z=D3t; (-¥<t<¥),

де -

мінори матриці .

12

 

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:

де dx=Dx, dy=Dy.

Якщо U = f(x, y, z), то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos a, cos b} дорівнює:

.

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos a, cos b, cos g} – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f¢х(x, y, z)=0; f¢y(x, y, z)=0; f¢z(x, y, z)=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то

17

((x, y) є G).

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія: , якщо êqú < 1.

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5. Ознака Даламбера. Нехай для ряду (Un>0) існує

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.

6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а01х+а2х2+… визначається за формулою: , якщо остання має зміст.

18

.

19. Об'єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох: (a<b)

б) навколо осі Оу: (c<d)

20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:

 

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел:

z1=z2ÛRe z1=Re z2, Im z1=Im z2

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:

a)

б)

в) (z2¹0)

Зокрема Re z =1/2 (z+ ), Im z= (z- )/2і, ú z ê2=z .

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

11

 

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів , , є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор , де

- - вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.

4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).

Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j=<( , ).

Вектори і ортогональні, якщо * = 0.

Якщо і , то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де , , (j = <(a,b)),

причому а, b, с - права трійк.

Якщо і , то , де

i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об'єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.

Якщо , , , то

14

.

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є:

x=rx , y=ry , z=rz , де r= - радіус-вектор точки М.

2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами: ;

cos a=ax/a; cos b=ay/a; cos g=az/a,

(cos2a+cos2b+cos2g=1),

де cos a, cos b, cos g - напрямні косинуси вектора а.

3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):

.

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}¹0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N*(r-r0)=0,…(1)

де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0.

В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2)

де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r0+st (3)

15

де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}¹0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-¥<t<+¥).

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

.

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N*N¢, де N={A,B,C}, N¢={A¢,B¢,C¢}.

8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):

.

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:

.

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:

x2+y2=2pz.

VII.Диференціальне числення функції

декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f(x,y):

,

або

Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).

2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:

16

11. Визначник третього порядку:

де - алгебраїчні

доповнення відповідних елементів визначника.

12. Розв'язок системи визначається за формулою Крамера х=Dх/D; у=Dу/D; z=Dz/D,

де

.

13. Розв'язок однорідної системи , якщо

 

знаходяться з підсистеми: .






Реферат на тему: Аналітична геометрія на площині (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2017. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.