Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Математика

Абсолютно неперервні випадкові величини (реферат)

Функція розподілу випадкової величини x - це ймовірність F(x)=P{x<x}. Функція розподілу F(x): а) неперервна зліва; б) неспадна на
(-¥, +¥); в) F(-¥)=0, F(+¥)=1

Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (W, Á, Р) і випадкову величину x(w) на ньому, яка має функцію розподілу F(x).

Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує невід'ємна функція р(х), яка називається щільністю ймовірності , така що [ 5] .

Майже при всіх х виконується рівність F¢(x)=p(x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі , P{a £ x £ b}= = F(b)- F(a) (a<b).Якщо р(х)неперервна функція, то

Р{ x £ x £ Dx} = p(x) Dx + 0(Dx).

Рівномірний розподіл. Випадкова величина x має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)=

0,

Нормальний розподіл N(a, s2). Випадкова величина має нормальний N(a, s2) розподіл, якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)= exp , -

Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром l, якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)=

0,

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Функція розподілу випадкового вектора (x1,…, xn) – це ймовірність

F(x1,…,xn)=P{x1 < x1…, xn < xn}.

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини x1,…, xn незалежні, якщо

P{x1< x1,…, xn< xn}= P{x1< x1}… P{xn< xn}.

Теорема. Випадкові величини 1, 2,…., n незалежні тоді і тільки тоді, коли

1,х2,….,хn)= х1) х2)… хn).

Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F(x1,…,xn) вектора (x1,…, xn) можна подати у вигляді

F(x1,…,xn)=

то кажуть, що випадковий вектор (x1,…, xn) має щільність розподілу р(x1,…,xn). Щільність розподілу р(x1,…,xn) випадкового вектора (x1,…, xn) є невід`ємна функція і

.

Для неї майже всюди має рівність

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти

.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай
x(w) – випадкова величина на ймовірному просторі (W,Á, Р).

Випадкова величина x(w) має математичне сподівання, якщо існує інтеграл

Мx= ,

де р (х)- щільність розподілу x(w).

Якщо g(x) – однозначна функція і , то

Мg(x)= .

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини.

D = M( -M )2=M 2- (M )2= .

Випадковий вектор (x1,…, xn) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює

де , = M i ,

( i =1,…,n ), - визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,

-елементи оберненої до матриці .

Задача 1.В книзі Г.Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.

Розв'язування. Р{x ³ x}= 0,5, за умовою задачі.

Р{x ³ x}=1 - Р{x < x}=1-1+ (х0 ¤х)a = 0,5 Þ (х0 ¤х)a = 1¤2, х0 ¤х=(1/2)1/a ,
х0 = (1/2)1/a х, х=2a х0

Задача 2 .Нехай x - випадкова величина з неперервною функцією розподілу F(x) і h = F(x). Обчислити функцію розподілу h.

Розв'язування. Нехай Тоді При (так як F(x) – функція розподілу), при Отже, h має рівномір-ний розподіл на [0,1).

Задача 3.Нехай x - рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини h = 1¤l ln(1-x). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром l).

Задача 4. Нехай випадкова величинаx має нормальний розподіл N(а, s2). Показати, що .

Задача 5.Випадкова величина x має нормальний розподіл N(0,s2). При якому s ймовірність попадання в інтервал (а,b) буде максимальною?

Розв'язування.

.

Задача 6.Нехай x - має показниковий розподіл з параметром l. Обчислити а) Мx ; б) Dx ; в) Р{x ³1}.( Вказівка. , ).

Задача 7.Нехай x - випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром l. Знайти розподіл випадкової величини h = [x]. Обчислити Мh.

( Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е-l).

Задача 8 а) Знайти М|x |, якщо випадкова величина x розподілена нормально з параметрами (0, s 2).б) Нехай x - нормально розподілена з параметрами (а, s 2). Обчислити М|x -а|. Відповідь .

Задача 9 . Нехай x - випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) Мx ; б) Dx ; в) Р{ |x | > a/2 }

Задача 10. Щільність випадкової величини x має вигляд р(х)=Ае при х³0 й р(х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію x .

Задача11. Випадкова величина x рівномірно розподілена на проміжку , , а та w - додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію h. ( Мh = 0 ; Dh = а2¤2 )

Задача12. Випадкова величина x має щільність Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь Мx=0, .

Задача13. Нехай випадкова величина x задана наступним чином:.

Знайти а) коефіцієнт А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію x . (А=1/2, F(x)=1/2 (sin x –1) при -p/2<x£p/2, F(x)=0 при х£-p/2, F(x)=1 при х>-p/2; б) Мx=0; Dx=p2/4-2.

Задача14. Випадкова величина x розподілена по закону Лапласа, тобто її щільність дорівнює р (х)= .Знайти математичне сподівання та дисперсіюx..

Задача 15. Випадкова величина x має щільність (закон Коші)
а) коефіцієнт А та функцію розподілу x; б) знайти ймовірність нерівності
-1£х<1, в) яке математичне сподівання, цього розподілу?
( Відповідь. А=1/p ; ; Р{-1£x<1}=1/2; математичного сподівання не існує).

Задача 16 .Випадкова величина x розподілена логарифмічно нормально, тобто її щільність р(х)=0, при х£0 й , при х>0. (a - довільне число, b - додатнє). Знайти Мx та Dx . (Відповідь , ). ).

Задача 17 . Нормальний розподіл з щільністю зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.

(відповідь: Щільність зрізаного розподілу

54

Задача 18. Нехай випадковий вектор (ξ , ξ ) має нормальний розподіл

N(а ,а , σ , σ , ρ) на площині. Показати, що кожна з величин ξ і ξ має відповідно нормальний розподіл N(а , σ ) і N(а , σ ).

Розв'язування. Випадковийо вектор ( 1, 2)має нормальний розподілN ( , , , ) на площині, якщо його щільність

(х,у)= ехр {- [ - 2 + ] }. При цьому , = , ,

.

Зробимо заміну змінних

, v

та врахуємо, що .

55

Одержимо

або .

Задача19. Випадкові величини незалежні і мають нормальні розподіли ), ). Довести, що випадкова величина має

нормальний розподіл ). (Скористатись формулою

= ,

де -щільності випадкової величини , і=1,2.).

Задача 20. Випадковий вектор ( ) з невід'ємними компонентами має функцію розподілу

F(х,у)=1- .

Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? ( Відповідь. Випадкові величини та незалежні. M = , M = , D = , D = ).

Задача21. Випадкова величина рівномірно розподілена на інтервалі (-1 , 1), = m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляції та . Розлянути випадки парного та непарного n.

Задача 22. Випадковий вектор ( , ) має щільність р(х,у)= .

Знайти коефіцієнт . Знайти одновимірні щільності випадкових величин та . Установити, залежні чи ні випадкові величини та .




Реферат на тему: Абсолютно неперервні випадкові величини (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2017. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.