Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Фізика

Моделі та основні рівняння математичної фізики (реферат)

Зміст

1 Математична фізика. Основні поняття 3

2 Основні рівняння що використовуються в математичній фізиці 7

2.1 Проблема узагальнених розв'язків 10

2.2 Представлення розв'язків. 19

3 Рівняння струни. 22

Висновки

Перелік посилань

 

1 Математична фізика. Основні поняття

Математична фізика - теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і в математиці, і у фізиці, знаходячись на стику цих наук.

Математична фізика тісно пов'язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той же час математична фізика - розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними. У поняття методів математичної фізики включаються ті математичні методи, які застосовуються для побудови і вивчення математичних моделей, що описують великі класи фізичних явищ.

Методи математичної фізики як теорії математичних моделей фізики почали інтенсивно розроблятися в працях І.Ньютона по створенню основ класичної механіки, всесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток методів математичної фізики і їх успішне застосування до вивчення математичних моделей величезного круга різних фізичних явищ пов'язані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, Же. Фур'є, До. Гауса, Би. Рімана, М. В. Остроградського і багатьох інших учених. Великий внесок у розвиток методів математичної фізики внесли А. М. Ляпунов і В. А. Стеклов.

Починаючи з 2-ої половини 19 століття методи математичної фізики успішно застосовувалися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, пов'язаних з різними фізичними полями і хвилевими процесами в електродинаміці і ряду інших напрямів дослідження фізичних явищ в суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найчастіше описуються за допомогою диференціальних рівнянь з приватними похідними, рівнянь, що одержали назву математичної фізики.

Крім диференціальних рівнянь математичної фізики, при описі математичних моделей фізики застосування знаходять інтегральні рівняння і інтегро-дифференційні рівняння, варіаційні і теоретико-імовірнісні методи, теорія потенціалу, методи теорії функцій комплексного змінного і ряд інших розділів математики. У зв'язку з бурхливим розвитком обчислювальної математики особливе значення для дослідження математичних моделей фізики набувають прямих чисельних методів, що використовують ЕОМ, що дозволило методами математичної фізики ефективно вирішувати нові задачі газової динаміки, теорії перенесення, фізики плазми, у тому числі і зворотні завдання цих найважливіших напрямів фізичних досліджень.

Теоретичні дослідження у області квантової фізики і теорії відносності, широке використання ЕОМ в різних областях математичної фізики, включаючи і зворотні (некоректно поставлені) завдання, зажадали значного розширення використовуваного математичною фізикою арсеналу математичних методів. Разом з традиційними розділами математики стали широко застосовуватися теорія операторів, теорія узагальнених функцій, теорія функцій багатьох комплексних змінних, топологічні і алгебра методи. Ця інтенсивна взаємодія теоретичної фізики, математики і використання ЕОМ в наукових дослідженнях привела до значного розширення тематики, створенню нових класів моделей і підняло на новий рівень сучасну математичну фізику. Все це внесло великий внесок у розвиток науково-технічного прогресу.

Постановка завдань математичної фізики полягає в побудові математичних моделей, що описують основні закономірності класу фізичних явищ, що вивчається. Така постановка полягає у виведенні рівнянь (диференціальних, інтегральних, інтегро-дифференційних або алгебри), яким задовольняють величини, що характеризують фізичний процес. При цьому виходять з основних законів, що враховують тільки найбільш істотні риси явища, відволікаючись від ряду його другорядних характеристик. Такими законами є звичайно закони збереження, наприклад, кількості руху, енергії, числа частинок і т.д. Це призводить до того, що для опису процесів різної фізичної природи, але що мають загальні характерні риси, виявляються застосовними одні і ті ж математичні моделі.

Для математичної фізики характерний також те, що багато загальних методів, використовуваних для вирішення завдань математичної фізики, розвинулися з приватних способів рішення конкретних фізичних задач і в своєму первинному вигляді не мали строгого математичного обгрунтування і достатньої завершеності. Це відноситься до таких відомих методів рішення задач математичної фізики, як методи Рітца і Галеркіну, до методів теорії обурень, перетворень Фур'є і багатьом іншим, включаючи метод розділення змінних. Ефективне застосування всіх цих методів для вирішення конкретних завдань є однією з причин для їх строгого математичного обгрунтування і узагальнення, що приводить у ряді випадків до виникнення нових математичних напрямів.

Дія математичної фізики на різні розділи математики виявляється в тому, що розвиток математичної фізики, що відображає вимоги природних наук і запити практики, спричиняє за собою переорієнтацію спрямованості досліджень в деяких розділах математики, що вже склалися. Постановка завдань математичної фізики, пов'язана з розробкою математичних моделей реальних фізичних явищ, привела до зміни основної проблематики теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними. Виникла теорія краєвих завдань, що дозволила згодом пов'язати диференціальні рівняння з приватними похідними з інтегральними рівняннями і варіаційними методами.

Вивчення математичних моделей фізики математичними методами не тільки дозволяє одержати кількісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реальних процесів, але і дає можливість глибокого проникнення в саму суть фізичних явищ, виявлення прихованих закономірностей, прогнозу нових ефектів. Прагнення до детальнішого вивчення фізичних явищ приводить до все більшому ускладненню математичних моделей, що описують ці явища, що в свою чергу робить неможливим застосування аналітичних методів дослідження цих моделей. Це пояснюється, зокрема, тим, що математичні моделі реальних фізичних процесів є, як правило, нелінійними, тобто описуються нелінійними рівняннями математичної фізики. Для детального дослідження таких моделей успішно застосовуються прямі чисельні методи з використанням ЕОМ. Для типових завдань математичної фізики застосування чисельних методів зводиться до заміни рівнянь математичної фізики для функцій безперервного аргументу рівняннями, алгебри, для сіткових функцій, заданих на дискретній безлічі крапок (на сітці).Іншими словами, замість безперервної моделі середовища вводиться її дискретний аналог. Застосування чисельних методів у ряді випадків дозволяє замінити складний, трудомісткий і дорогий фізичний експеримент значно економічнішим математичним (чисельним) експериментом. Достатньо повно проведений математичний експеримент є основою для вибору оптимальних умов реального фізичного експерименту, вибору параметрів складних фізичних установок, визначення умов прояву нових фізичних ефектів і т.д. Таким чином, чисельні методи незвичайно розширюють область ефективного використання математичних моделей фізичних явищ.

2 Основні рівняння що використовуються в математичній фізиці Основні рівняння з частинними похідними, використовувані в математичній фізиці, і основні проблеми, пов'язані з їх розв'язанням і дослідженням. Опис різного роду процесів в механіці, фізиці, хімії, біології і т.п. вимагає встановлення зв'язків між різними величинами, що характеризують ці процеси. Ці зв'язки можуть бути описані співвідношеннями як функціональними, в яких одні величини виражаються через інші

так і диференціальними, в яких фігурують похідні одних величин по інших.

Класичним прикладом є система співвідношень:

, ,

що зв'язує основні величини механіки - шлях S, час t, швидкість V, імпульс р і силу F. Сила F в реальних завданнях, як правило, залежить від положення тіла, його швидкості і моменту часу F = F(t,s,v), і виключенням V і р ми одержуємо - другий закон Ньютона. Це - звичайне диференціальне рівняння. Вони виникають при дослідженні руху окремого тіла або системи тіл, при якому внутрішній устрій цього тіла і зміна цього внутрішнього устрою неістотні. Проте нам доводиться стикатися і з іншими ситуаціями - поведінка атмосфери, опис газового потоку, наприклад, літак, процес деформації листа металу при штампуванні, тепловий і хімічний процес в камері згорання, електрична і магнітна дія на рухомі об'єкти і ін. ніяк не вписуються в концепцію "тіло". Всі вони описуються в термінах суцільного середовища. Суцільне середовище - це однорідна матерія, тверда, рідка або газоподібна, яка суцільно заповнює деякий об'єм, і стан якої характеризується поточково - функціями, залежними від часу і координат точки деякого об'єму (х,у,F)(або ( )).

; ; ;

"Незалежних" змінних багато: і тому тут при описі диференціальних співвідношень часто доводиться використовувати частинні похідні - коли проводиться диференціювання по одній змінній при фіксованих інших:

, ,

Коли диференціальне співвідношення стає диференціальним рівнянням? Тоді, коли йому задовольняє цілий клас процесів (наприклад течій в газовій динаміці або деформацій в теорії пружності). В цьому випадку співвідношення можна розглядати як щось самостійне і називати його диференціальним рівнянням. А одержані функції, які описують конкретні процеси - розв'язким диференціального рівняння.

Диференціальним рівнянням в приватних похідних називається рівняння

,

, , …

що зв'язує декілька незалежних змінних , функції від цих змінних

і частинні похідні цих функцій по цих змінних - порядок похідних.

Говорять, що рівняння має k-й порядок, якщо в рівнянні фігурує хоч би одна похідна k-го порядку і відсутні похідні вищих порядків.

Приклад 1. Нехай u залежить від х і у :

Розглянемо рівняння

У цьому рівнянні змінна у присутній як параметр: диференціювань по цій змінній не проводиться. Для того, щоб вирішити рівняння, пригадаємо ще раз, що таке приватне диференціювання - це диференціювання по одній із змінних при фіксованих інших. Означає і вирішувати рівняння необхідно за тим же принципом: зафіксуємо у (наприклад у = 3). Тоді для функції u(х, 3) одержуємо звичайне диференціальне рівняння , з якого виходить u(х, 3) = С.

Тепер можна зафіксувати інше (наприклад у = 5), і аналогічно одержати диференціальне рівняння , з якого виходить u(х, 5)=C1

Чи співпадають С та С1? Взагалі кажучи, не обов'язково. Означає, кожному фіксованому значенню у відповідає "своє" значення С, так що в результаті ми одержуємо u(х,у)= C (у). Неважко переконатися, що ця формула дає розв'язки рівняння для будь-якої функції C (у), оскільки

Приклад 2. Нехай u, як раніше, залежить від x і у: u = u(x,у).

Розглянемо рівняння

Дивлячись на як на "невідому функцію", ми можемо це рівняння проінтегрувати, як в Прикладі 1, і одержати = C(у).

Повторна інтеграція за тими ж принципами (зафіксувати у, проінтегрувати, одержати розв'язки, і, міняючи у,зробити "константу" інтеграції функцією від у) дає

.

Приклад 3. Нехай u залежить тепер від х, у, z: u = u(х, у, z).

Розглянемо рівняння

Тут для інтеграції необхідно фіксувати вже у і z, так що "константа" буде вже своєю для кожної пари (у, z), тобто u(х,у,z)= C (у,z).

Розв'язки ДР в частинних похідних містить, як правило, довільні функції. Цих функцій стільки, який порядок рівняння, а кількість аргументів рівна, грубо кажучи, різниці між кількістю невідомих і кількістю рівнянь.

2.1 Проблема узагальнених розв'язків

Розглянуті приклади дають нам деякі формули, але для того, щоб їх використовувати, необхідно накладати якісь вимоги на довільну функцію. У першому прикладі таких вимоги не виникло, але це швидше виключення, чим правило. Вже у разі достатньо елементарного рівняння їх - іу = 0 у формулі розв'язки u(х,у)=f(х+у) необхідно припускати, що f диференційовна, (а точніше неперервно диференційовна) - інакше ми просто не зможемо підставити її в рівняння.

Таким чином перше поняття розв'язки - це класичне розв'язки. Від довільних функцій потрібен повна диференційовність і неперервність.

Але в деяких випадках (наприклад, в газодинаміці) немає неперервної диференційовності , але диференціальне рівняння складати треба.

Рисунок 1

З'являється необхідність розглядати узагальнені розв'язки, тобто розв'язки, які не зовсім задовольняють диференціальному рівнянню.

Проблема узагальнених рішень має два аспекти. Перший - це до якого ступеня можна нехтувати рівнянням. Адже якщо дозволяється нехтувати рівнянням в одній точці, то вже ніщо не перешкодить нехтувати ним і в іншій. А де тоді межа? Якщо нехтувати рівнянням в усіх точках, то вийде абсурд: будь-яка функція буде розв'язким будь-якого рівняння. Крім того це безглуздо і з фізичної точки зору: адже рівняння - це загальне диференціальне співвідношення, якому всі розв'язки все-таки підпорядковані, це та властивість яким фізичний процес володіє.

При t=0 похідна відсутня. - узагальнений розв'язок.

Гіпотеза: нехтуємо поки є інтеграл. Під інтегралом може стояти f(s) неперервна майже скрізь, тобто що має розриви на безлічі міри нуль.

гіпотеза невірна: існує функція, похідна якій майже усюди рівна нулю сама функція має непостійний розв'язок - функція Кантора:

Рисунок 2

У звичайних рівняннях проблема обходиться введенням поняття абсолютно безперервної функції (функція Кантора якраз не є абсолютно безперервною), і узагальнене розв'язки - це функція, яка абсолютно безперервна і задовольняє диференціальному рівнянню майже усюди.

У рівняннях же з частинними похідними для введення узагальнених рішень використовують інші підходи, оскільки поняття абсолютної безперервності для функцій декількох змінних відсутній.

Другий аспект полягає в тому, що розв'язки проблеми повинне бути достатньо загальним. Річ у тому, що починаючи з першої чверті XX століття в ужиток механіки і фізики була введена величезна кількість рівнянь.

Рівняння аеродинаміки:

- з вихорами

- без вихорів

- надзвукові течії

- дозвукові течії

- суміші

- однорідні

- ідеальні гази

- неідеальні гази Рівняння гідродинаміки:

- з теплообміном

- без теплообміну

- нев'язке середовище

- в'язке середовище

- ідеальна рідина

- неідеальна рідина

Рівняння пружності:

- з кінцевими співвідношеннями

- з диференціальними співвідношеннями

- з пам'яттю

- з в'язкістю

- з пластичністю

- однорідне середовище

- неоднорідне ізотропне середовище

- неоднорідне неізотропне середовище

Рівняння горіння: Рівняння детонації: Електромагнетизм:

- у твердих тілах

- у рідинах

- однорідне середовище

- неоднорідне ізотропне середовище

- неоднорідне неізотропне середовище

- у плоскому просторі

- у викривленому просторі

Багато співвідношень в цих рівняннях є гіпотетичними. Отже питання про коректність тих моделей, які досліджуються, доводиться вирішувати в найзагальнішій постановці.

Підходів, що дозволяють задавати узагальнені розв'язки, по суті, два.

Перший з них грунтується на фізичному міркуванні, що нерівна функція є якась ідеальна річ, що є межею гладких функцій. Наприклад, .

Рисунок 3

З математичної точки зору це якось не дуже зрозуміло, з чого це раптом модель треба вважати межею. Але візьмемо струну, натягнемо її і прикладемо до неї точкову силу:

Рисунок 4

Вона прийме трикутну форму, що нагадує деформований модуль, і іноді цю форму через модуль і описували. Але реально силу в точці прикласти неможливо. Отже ця форма насправді є деякою ідеалізацією, дуже зручною, але досяжною тільки в уяві шляхом граничного переходу. Так само розривна функція може вважатися просто ідеалізацією тієї, що "швидко росте за короткий час” функції.

Рисунок 5

В перехідній зоні може бути і не так гладко як на рис.5. Можлива і різна екзотична поведінка(наприклад, відоме явище Гібса):

Рисунок 6

Це може не впливати на питання що нас цікавлять і може не відобразитися на вимірюваннях. Таким чином, якщо ці функції сходяться до деякої функції що є розв'язком рівняння,і якщо ці функції збігаються до деякої функції u в тому або іншому сенсі , то u можна вважати узагальненим розв'язком.

Тут головне мистецтво полягає в тому, щоб підібрати збіжність, що не суперечить, з одного боку, сенсу завдання, а з іншого боку - що дає розумний результат.

Другий підхід менш прямолінійний, і грунтується на міркуваннях глибших, хоч і не менш фізичних.

Візьмемо, наприклад, термометр. Що він показує? Насправді він показує об'єм, займаний робочою рідиною. Цей об'єм залежить від температури. Але термометр не може бути нагрітий "абсолютно рівномірно". З одного боку на нього світить сонце, а з іншою - тінь. Збоку подув вітерець, він охолоджує. Тобто свідчення термометра - це щось середнє, інтегральне.

Така ситуація з вимірюванням "усередненої" величини постійно зустрічається у фізиці, а в квантовій механіці, де всі вимірювання носять опосередкований характер, вона взагалі зводиться в принцип: зміряна величина - це завжди щось середнє:

тут - властивість вимірювального приладу.

У математиці ця концепція знайшла вираз у вигляді встановлення відповідності між функцією у(х) і породжуваними його відображеннями, званими функціоналами:

.

Питання про зворотну відповідність дуже і дуже сильно залежить від класу "вимірювальних" функцій . Перший результат, що стосується зворотної відповідності був встановлений Ріссом.

Якщо - безперервна, то існує функція обмеженої варіації така, що

- інтеграл Стілтьєса ( )

Тому теореми про зворотну відповідність звичайно називають теоремами Рісса.

, ,

, , ,

Використання функціональної точки зору і дозволяє ввести узагальнене диференціювання і, відповідно, узагальнені розв'язки.

,

Визначення. Якщо

вірно для всіх р з деякого класу, , то z називають узагальненою похідною від у.

Звичайно беруть такою, що нескінченно диференціюється і звертається в нуль на кінцях відрізка.

Рисунок 7

Аналогічна конструкція реалізується і в багатовимірному випадку.

2.2 Представлення розв'язків

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, в рівняннях з частинними похідними питання про форму представлення розв'язків.є вельми складним. Найбільш поширеними є:

· кінцеві формули

· нескінченні уявлення

Для отримання кінцевих формул звичайно використовують зведення до диференціального рівняння. Приклад

Прості випадки:

.

Відомо , що розв'язки описується формулою

.

Ця формула містить функцію , що є розв'язким рівняння ∆u = 0 при Функція, що цікавить нас, виходить, якщо в рівняння Лапласа підставити "радіальну" функцію , і вирішити одержане звичайне диференціальне рівняння відносно u(r).

Приклад: введення спеціальних функцій.

Пошук аналогічним чином радіального розв'язки і рівняння Гельмгольца

приводить до рівняння Бесселя, яке просто не розв'язується, і взагалі не розв'язується в елементарних функціях.

Істотним ідейним моментом теорії рівнянь з частинними похідними є те, що якщо ми одержуємо звичайне диференціальне рівняння, яке в елементарних функціях не розв'язується, то розв'язки цього рівняння ми "вводимо", додаючи його до сімейства елементарних функцій. Так з'являються функції Бесселя і рівняння Бесселя, що є розв'язком.

Всі ці "додаткові" функції називаються спеціальними і механіки використовують їх в розрахунках так само, як ви використовуєте синуси і косинуси. Є докладні дослідження цих функцій:

таблиці значень

розподіл нулів

· поведінка на нескінченності і поблизу особливих крапок

· розкладання в ряди

· формули перетворення

отже в результаті ці функції виявляються нічим не Гірше за синуси і косинуси.

З нескінченних уявлень як найбільш вживаних слід назвати уявлення у вигляді рядів Фур'є (поки можна вважати тригонометричних рядів), у вигляді статечних рядів, асимптотичних рядів.

З нескінченними уявленнями пов'язана проблема наближеного представлення розв'язки. Наприклад, коли ми беремо декілька членів ряду. Тут з'являється питання про те, як оцінювати точність наближення, тобто різниця між точним розв'язким і наближеним? Річ у тому, що відмінність двох функцій може бути охарактеризована різним способом (наприклад, рівномірним або інтегральним чином) і це дає різні результати. Тому при постановці завдань для рівнянь з частинними похідними Грає центральну роль питання про те, як передбачається вимірювати відстань між функціями. На математичній мові це питання звучить як питання про вибір функціонального простору.

3 Рівняння струни

Струною називають пружну нитку, натягнуту і закріплену за два кінці. Натягування струни означає, що на кожну її точку діє дві сили, рівні по величині (позначимо її за т), але протилежні по напряму, звані силами натягу. Ці сили врівноважують один одного, і в результаті струна знаходиться у спокої.

Рисунок 8

Прикладемо тепер до струни силу величини F в точці x. Струна прийме трикутну форму.

Рисунок 9

Тепер сили натягу не врівноважують одна одну, їх рівнодія протистоїть зовнішній дії F. Запишемо тепер умову рівноваги (для вертикальних проекцій сил) . Якщо форму струни зліва позначити через y_(x), а справа через (x), то враховуючи, що одержуємо:

Розглянемо випадок розподіленого навантаження

Рисунок 10

У принципі цей випадок абсолютно аналогічний попередньому: якщо узяти проміжок [х, х + ∆х], то умова рівноваги сили натягнення прикладеної до лівого кінця цього проміжку, сили натягнення прикладена до правого кінця і зовнішня сила F має вигляд:

Подыливши на ∆х, і переходячи до межі при ∆х→0, одержуємо

-де f(x) - лінійна щільність сили. Звичайно, коли мають справу з реальною струною, вважають деформації малими, відповідно замінюють на 1, і одержують лінійне рівняння струни

Якщо тепер струна знаходиться не в рівновазі, а в русі, то сума сил не рівна нулю, а проводить прискорення відповідно до другого закону Ньютона. Щоб записати цей закон, нам знадобиться замість функції у(х) розглянути функцію двох змінних u(t,х) (при кожному t це формула струни у момент часу t), тоді сила що діє на точку х у момент t рівна:

а прискорення рівне ій, так що ми одержуємо відповідно до другого закону Ньютона, рівняння

,

що називається нелінійним рівнянням струни. Тут р(х) - лінійна щільність струни (тобто межа відношення маси відрізка [х,х + ∆х] до довжини цього відрізка). У разі малих коливань це рівняння линеаризують, одержуючи

Якщо р(х)= const то струну називають однорідною, а інакше - неоднорідної. Для однорідної струни рівняння звичайно ділять на р, приводячи його до вигляду :

.

Це рівняння ми і вивчатимемо далі як рівняння коливань струни. Якщо

f(t,x)= 0, то коливання називають вільними, а інакше - вимушеними.

Подивимось, що ж являє собою функція u=f(x-at). При t=0вона співпадає з f(x). При t=1 та ж картинка, але зміщена на а вправо.

Рисунок 11

Формула

називається формулою біжучої хвилі, а рівняння

називається хвильовим рівнянням.

Оскільки рівняння струни – це другий закон Ньютона, тобто рівняння динаміки, а динаміка конкретного руху визначається початковими умовами елементів механічної системи ,то для рівняння струни вони будуть мати вигляд:

Підставивши їх у формулу біжучої хвилі, маємо:

З якої визначається

В результаті маємо формулу для розв'язування хвильового рівняння Д'Аламбера:

Отримана формула має красиву геометричну інтерпретацію. Якщо ψ(х)=0 (тобто струна в початковий момент виведена з рівноваги, але у спокої), то при t>0 її початкова форма ніби ділиться пополам: половина іде направо, половина – наліво.

Рисунок 12

Якщо на площині (t,x) відмітити деяку точку і провести через неї прямі

То ці прямі перетнуть вісь абсцис в точках

Тобто в точках,в яких визначаються значення початкового положення φ(s) , що обмежують проміжок інтегрування початкової швидкості φ(s). З формули виходить , що значення φ(s) і ψ(s) при лежачих поза проміжком(x-at, x+at) не впливають на значення розв'язку в точці (t,x). У зв'язку з цим область між прямими

проведеними через (t, x) називається областю впливу.

Рисунок 13

Висновки

Математична модель фізичного явища, як всяка модель, не може передати всіх рис явища. Встановити адекватність прийнятої моделі досліджуваному явищу можна тільки за допомогою критерію практики, зіставляючи результати теоретичних досліджень прийнятої моделі з даними експериментів.

У багатьох випадках про адекватність прийнятої моделі можна судити на підставі рішення зворотних задач математичної фізики, коли про властивості явищ природи, що вивчаються, недоступних для безпосереднього спостереження, робляться висновки за наслідками їх непрямих фізичних проявів.

Для математичної фізики характерне прагнення будувати такі математичні моделі, які не тільки дають опис і пояснення вже встановлених фізичних закономірностей круга явищ, що вивчається, але і дозволяють передбачити ще не відкриті закономірності. Класичним прикладом такої моделі є теорія всесвітнього тяжіння Ньютона, що дозволила не тільки пояснити рух відомих до моменту її створення тіл Сонячної системи, але і передбачити існування нових планет. З іншого боку, нові експериментальні дані, що з'являються, не завжди можуть бути пояснені в рамках прийнятої моделі. Для їх пояснення потрібне ускладнення моделі.

Перелік посилань

1. Панов Д. Ю. Математическая физика /Д. Ю. Панов, Ф. Р. Егоров – Екатеринбург,2005 – 150с.

2. Овчінніков П. П. , Вища математика в 2 ч. / П. П. Овчінніков –

Ч 2: К.: Техніка,2000. – 792с.

3. Владимиров В. С. , Уравнения математической физики /

В. С. Владимиров – 4 - е. доп. М.: Наука,1981 – 509с.





Реферат на тему: Моделі та основні рівняння математичної фізики (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.