Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Економічна теорія

Приклади задач з предмету "економетрія" (практичне завдання)

Задача 1

На основі статистичних даних про прибуток (Y) фірми та інвестиції (X):

- побудувати лінійну однофакторну модель;

- оцінити її параметри;

- дати загальну характеристику адекватності моделі та її параметрів для рівня значущості a=0,05;

- розрахувати коефіцієнти детермінації, кореляції, еластичності та зробити відповідні висновки;

- розрахувати точковий та інтервальний прогноз прибутку фірми для заданого прогнозного значення інвестицій: ХПР =10,4.

Вихідні дані (в умовних одиницях) – у таблиці 1.

Таблиця 1

Y

X

1

7,7

5,3

2

13,9

4,9

3

15,9

5,8

4

18,1

6,2

5

18,3

6,8

6

20,1

7,5

7

10,9

8,2

8

14,2

5,6

9

15,7

6,1

10

17,4

6,7

11

18,8

7,1

12

11,9

7,5

13

16,7

6,5

14

20,3

7,6

15

20,9

7,3

16

22,6

8,2

Рішення:

Перший крок

Візьмемо декартову систему координат на площині. Відкладемо на ній точки , де X, Y – дані з таблиці 1; .

Обведемо всі відкладені точки замкнутою кривою та отримаємо еліпс розсіювання вихідних даних.


 

Проведемо криву, яка відповідає усередненим значенням типу , де b0, b1 – параметри моделі.

2-й крок

Параметри регресії знаходимо за формулами:

;

Для визначення цих параметрів моделі необхідно розрахувати наступні значення (таблиця 2).

Таблиця 2

Y

X

X2

Y2

XY

1

7,7

5,3

28,09

59,29

40,81

2

13,9

4,9

24,01

193,21

68,11

3

15,9

5,8

33,64

252,81

92,22

4

18,1

6,2

38,44

327,61

112,22

5

18,3

6,8

46,24

334,89

124,44

6

20,1

7,5

56,25

404,01

150,75

7

10,9

8,2

67,24

118,81

89,38

8

14,2

5,6

31,36

201,64

79,52

9

15,7

6,1

37,21

246,49

95,77

10

17,4

6,7

44,89

302,76

116,58

11

18,8

7,1

50,41

353,44

133,48

12

11,9

7,5

56,25

141,61

89,25

13

16,7

6,5

42,25

278,89

108,55

14

20,3

7,6

57,76

412,09

154,28

15

20,9

7,3

53,29

436,81

152,57

16

22,6

8,2

67,24

510,76

185,32

Сума

263,4

107,3

734,57

4575,12

1793,25

Тоді параметри регресії будуть наступні:

Таким чином, вибіркова регресійна функція записується у такому вигляді:

Þ

Обчислюємо значення для кожного значення Хі (таблиця 3).

Таблиця 3

X

5,3

4,9

5,8

6,2

6,8

7,5

8,2

5,6

6,1

6,7

7,1

7,5

6,5

7,6

7,3

8,2

 

13,94

13,23

14,84

15,55

16,63

17,88

19,13

14,48

15,37

16,45

17,16

17,88

16,09

18,06

17,52

19,13

Побудуємо графік регресійної функції (Див. на кальці).

Висновок: при зростанні інвестицій прибуток фірми зростає на 1,79 умовних одиниць.

3-й крок

Обчислимо відносну похибку розрахованих значень регресії за формулою:

 

, де

Розраховані дані (відносна похибка – ВП) занесемо у таблицю 4.

Таблиця 4

 

13,94

13,23

14,84

15,55

16,63

17,88

19,13

14,48

15,37

16,45

17,16

17,88

16,09

18,06

17,52

19,13

Yi

7,7

13,9

15,9

18,1

18,3

20,1

10,9

14,2

15,7

17,4

18,8

11,9

16,7

20,3

20,9

22,6

ВП,%

181,0

95,1

93,3

85,9

90,8

88,9

175,5

101,9

97,8

94,5

91,2

150,2

96,3

88,9

83,8

84,6

Середнє значення відносної похибки розрахуємо за формулою:

Залишкову дисперсію визначимо за формулою:

, де ;

Розрахуємо складові цієї формули (таблиця 5).

Таблиця 5

 

13,94

13,23

14,84

15,55

16,63

17,88

19,13

14,48

15,37

16,45

17,16

17,88

16,09

18,06

17,52

19,13

U

-2,46

-3,17

-1,56

-0,85

0,23

1,48

2,73

-1,92

-1,03

0,05

0,76

1,48

-0,31

1,66

1,12

2,73

U2

6,05

10,04

2,43

0,72

0,05

2,19

7,45

3,68

1,06

0,002

0,57

2,19

0,09

2,75

1,25

7,45

Обчислимо коефіцієнт детермінації за формулою:

, де ;

Для обчислення даного коефіцієнту складемо розрахункову таблицю 6.

Таблиця 6

Yі

 

 

 

 

1

7,7

13,94

38,93

6,05

75,69

2

13,9

13,23

0,44

10,04

6,25

3

15,9

14,84

1,12

2,43

0,25

4

18,1

15,55

6,5

0,72

2,89

5

18,3

16,63

2,78

0,05

3,61

6

20,1

17,88

4,92

2,19

13,69

7

10,9

19,13

67,73

7,45

30,25

8

14,2

14,48

0,07

3,68

4,84

9

15,7

15,37

0,1

1,06

0,49

10

17,4

16,45

0,9

0,0025

1

11

18,8

17,16

2,68

0,57

5,76

12

11,9

17,88

35,76

2,19

20,25

13

16,7

16,09

0,37

0,09

0,09

14

20,3

18,06

5,01

2,75

15,21

15

20,9

17,52

11,42

1,25

20,25

16

22,6

19,13

12,04

7,45

38,44

Сума

263,4

263,34

190,85

48,02

238,96

Таким чином, коефіцієнт детермінації моделі становить 0,8, що свідчить про високу степінь залежності між змінними.

Перевіримо модель на адекватність. Практичне значення статистики Фішера дорівнює:

Теоретичне (табличне значення) F- критерію

У нашому випадку , тому гіпотезу про неістотність зв'язку між залежною і незалежною змінною моделі не приймаємо з ризиком 0,95, тобто коефіцієнт є значущим. Модель є адекватною.

Здійснимо перевірку на значущість коефіцієнтів регресії за t-тестом.

Обчислити t-статистику можна за формулою:

або ;

де ;

; ; ;

Для обчислення t-статистики складемо розрахункову таблицю 7.

Таблиця 7

Xі

Xі2

(Xi-Xср)2

1

5,3

28,09

1,96

2

4,9

24,01

3,24

3

5,8

33,64

0,81

4

6,2

38,44

0,25

5

6,8

46,24

0,01

6

7,5

56,25

0,64

7

8,2

67,24

2,25

8

5,6

31,36

1,21

9

6,1

37,21

0,36

10

6,7

44,89

0

11

7,1

50,41

0,16

12

7,5

56,25

0,64

13

6,5

42,25

0,04

14

7,6

57,76

0,81

15

7,3

53,29

0,36

16

8,2

67,24

2,25

Сума

107,3

734,57

14,99

Використовуючи розраховані значення таблиці 7, знаходимо:

 

;

За таблицями t-статистики знаходимо критичне , яке буде дорівнювати 2,145

У першому випадку - відповідно гіпотеза приймається, тобто коефіцієнт є незначущим.

У другому випадку - відповідно гіпотеза приймається, тобто коефіцієнт є значущим.

4-й крок (перевірка на значущість вибіркового коефіцієнту rXY)

Обчислимо коефіцієнт кореляції, який характеризує тісноту лінійного зв'язку незалежної змінної Х із залежною змінною Y за формулою:

, де

Відповідно:

Знаходимо t-статистику за формулою:

За таблицями t-статистики знаходимо критичне , яке буде дорівнювати 2,145

У нашому випадку - відповідно коефіцієнт кореляції між незалежною змінною Х та залежною змінною Y є значущим.

Межі надійності для для і відповідного ступеню вільності будуть мати вигляд:

, де

Довірчий інтервал дорівнює:

Таким чином межі надійності для для і відповідного ступеню вільності :

5-й крок

Обчислимо середній коефіцієнт еластичності за формулою:

, де ; ;

Відповідно:

Висновок: при збільшенні інвестицій на 1% прибуток підприємства зросте на 0,73%

6-й крок

Знаходимо коефіцієнт Стьюдента для . Він дорівнює 2,145.

Дисперсія дорівнює (використовуємо дані таблиці 7):

Обчислюємо за формулою:

,

де ; ; ; ;

Розраховані значення , та занесемо у таблицю 8.

Таблиця 8

Хі

 

 

 

 

1

5,3

13,94

18,03

9,85

 

2

4,9

13,23

17,32

9,14

 

3

5,8

14,84

18,93

10,75

 

4

6,2

15,55

19,64

11,46

 

5

6,8

16,63

20,72

12,54

 

6

7,5

17,88

21,97

13,79

 

Продовження таблиці 8

 

7

8,2

19,13

23,22

15,04

 

8

5,6

14,48

18,57

10,39

 

9

6,1

15,37

19,46

11,28

10

6,7

16,45

20,54

16,45

11

7,1

17,16

21,25

13,07

12

7,5

17,88

21,97

13,79

13

6,5

16,09

20,18

12

14

7,6

18,06

22,15

13,97

15

7,3

17,52

21,61

13,43

16

8,2

19,13

23,22

15,04

Сума

107,3

263,34

328,78

210,17

Нанесемо на графік всі значення та , з'єднаємо їх неперервною лінією (див. Кальку).

7-й крок (перевірка на значущість і побудова довірчих інтервалів для параметрів регресії)

Обчислимо стандартну помилку для b0, яка визначається за формулою:

де , (таблиця 6)

, ; (таблиця 7)

;

Відповідно

Обчислимо стандартну помилку для b1, яка визначається за формулою:

де ; , (таблиця 7)

Відповідно

Таким чином, ;

Визначимо, наскільки добре обчислена відповідна оцінка параметра моделі.

- зміщена; - не зміщена

Обчислимо довірчий інтервал для параметра регресії b1 за формулою:

( )

де ; ; ;

Відповідно

Довірчий інтервал для параметра регресії b1 буде мати такий вигляд:

Обчислимо довірчий інтервал для параметра регресії b0 за формулою:

де ; ; ; ;

Відповідно

Довірчий інтервал для параметра регресії b0 буде мати такий вигляд:

8-й крок (обчислення прогнозних значень і знаходження меж надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень і меж надійних інтервалів для математичного сподівання)

Згідно умові задачі ХПР =10,4

Для визначення прогнозного значення YПР у рівняння підставимо ХПР =10,4, отримаємо наступне:

Þ

Знайдемо межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень за наступною формулою:

де ; ; ;

Відповідно:

Межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень будуть наступні:

Знайдемо межі надійних інтервалів для математичного сподівання значення за наступною формулою:

;

Межі надійних інтервалів для математичного сподівання будуть наступні:

9-й крок

Розрахуємо збурювальну змінну, дані занесемо у таблицю 9.

Таблиця 9

Yі

 

 

 

 

1

7,7

13,94

-6,24

38,93

38,93

2

13,9

13,23

0,67

47,74

0,44

3

15,9

14,84

1,06

0,15

1,12

4

18,1

15,55

2,55

2,22

6,5

5

18,3

16,63

1,67

0,77

2,78

6

20,1

17,88

2,22

0,3

4,92

7

10,9

19,13

-8,23

109,2

67,73

8

14,2

14,48

-0,28

63,2

0,07

9

15,7

15,37

0,33

0,37

0,1

10

17,4

16,45

0,95

0,38

0,9

11

18,8

17,16

1,64

0,47

2,68

12

11,9

17,88

-5,98

58,06

35,76

13

16,7

16,09

0,61

43,42

0,37

14

20,3

18,06

2,24

2,65

5,01

15

20,9

17,52

3,38

1,29

11,42

16

22,6

19,13

3,47

0,008

12,04

Сума

263,4

263,34

0,06

369,22

190,85

Визначимо d-статистику за формулою:

, де ;

Відповідно:

Знайдемо верхню та нижню межі (статистика Дарбіна-Уотсона) для і : ;

У нашому випадку: - ряд не містить автокореляцію.





Реферат на тему: Приклади задач з предмету "економетрія" (практичне завдання)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.