Архів якісних рефератів

Знайти реферат за назвою:         Розширений пошук

Меню сайту

Головна сторінка » Цінні папери

Дисконтовані вартості безстрокових ануїтетів та дохідні акції (реферат)

План роботи

1. Властивість однорідності.

2. Дисконтовані вартості безстрокових ануїтетів.

3. Дохідні акції.

4. Задачі 4, 26

Список використаної літератури

1. Властивість однорідності

Для нарахування відсотків застосовують постійну базу нарахування і базу, яка послідовно змінюється (за базу приймається сума, отримана на попередньому етапі нарощення). У першому випадку використовують прості, у другому - складні процентні ставки, при застосуванні яких відсотки нараховуються на відсотки.

Під нарощеною сумою позички (боргу, депозиту, інших видів виданих у борг чи інвестованих грошей) розуміють первісну її суму з нарахованими відсотками до кінця терміну нарахування (date of maturity, due date). Нарощена сума визначається множенням первісної суми боргу (principal) на множник нарощення, що показує, у скількох разів нарощена сума більше первісної. Розрахункова формула залежить від виду застосовуваної процентної ставки й умов нарощення.

До нарощення по простих відсотках звичайно прибігають при видачі короткострокових позичок (на термін до 1 року) чи у випадках, коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються. Для запису формули нарощення простих відсотків (simple interest) приймемо позначення:

І - відсотки за весь термін позички;

Р - первісна сума довга;

S - нарощена сума, тобто сума наприкінці терміну;

і - ставка нарощення відсотків (десятковий дріб);

п - термін позички.

Якщо термін виміряється в роках (як це звичайно і буває), то і означає річну процентну ставку. Відповідно кожен рік приносить відсотки в сумі Pi. Нараховані за весь термін відсотки складуть І = Pni

Нарощена сума, таким чином, знаходиться як:

S = Р + I = Р + Рпі = Р(1 + пі)

Це вираження називають формулою нарощення по простих відсотках або коротко - формулою простих відсотків, а множник (1 + пі) - множником нарощення простих відсотків. Графік росту по простих відсотках представлений на мал. 1.

Мал. 1

Помітимо, що збільшення процентної ставки чи терміну в k раз однаковим образом впливає на множник нарощення. Останній збільшиться в (1 + kni) / (1 + пі) разів.

У середньо- і довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їхнього нарахування, а приєднуються до суми боргу, застосовують складні відсотки (compound interest). База для нарахування складних відсотків на відміну від простих не залишається постійною - вона збільшується з кожним кроком у часі. Абсолютна сума відсотків, що нараховуються, зростає, і процес збільшення суми боргу відбувається з прискоренням. Нарощення по складних відсотках можна представити як послідовне реінвестування засобів, вкладених під прості відсотки на один період нарахування (running period). Приєднання нарахованих відсотків до суми, що послужила базою для їхнього нарахування, часто називають капіталізацією відсотків.

Знайдемо формулу для розрахунку нарощеної суми за умови, що відсотки нараховуються і капіталізуються один раз у році (річні відсотки). Для цього застосовується складна ставка нарощення. Для запису формули нарощення застосуємо ті ж позначення, що й у формулі нарощення по простих відсотках:

Р - первісний розмір боргу (позички, кредиту, капіталу і т.д.),

S - нарощена сума на кінець терміну позички,

n - термін, число років нарощення,

i - рівень річної ставки відсотків, представлений десятковим дробом.

Очевидно, що наприкінці першого року відсотки дорівнюють величині Pi, а нарощена сума складе Р + Pi = P(1 + i). До конця другого року вона досягне величини Р(1 + і) + Р(1 + і) і = Р(1 + /)2 і т.д.

Наприкінці n-го року нарощена сума буде дорівнювати:

S = P(1 + і)n (1)

Відсотки за цей же строк у цілому такі:

I = S – P = P[1 + n)n – 1] (2)

Частина з них отримана за рахунок нарахування відсотків на відсотки. Вона складає:

IP = P[(1 + i)n – (1 + ni)] (3)

Мал. 3


 

 


 

 


 

Мал. 2


 

Як показано вище, ріст по складних відсотках представляє собою процес, що відповідає геометричної прогресії, перший член якої дорівнює Р, а знаменник - (1 + і). Останній член прогресії дорівнює нарощеній сумі наприкінці терміну позички. Графічна ілюстрація нарощення по складних відсотках представлена на мал. 2.

Величину (1 + і)n називають множником нарощення (compound interest factor) по складних відсотках. Значення цього множника для цілих чисел п приводяться в таблицях складних відсотків. Точність розрахунку множника в практичних розрахунках визначається припустимим ступенем округлення нарощеної суми (до останньої копійки, гривні і т.д.).

Як бачимо, величина множника нарощення залежить від двох параметрів – i та n. Слід зазначити, що при великому терміну нарощення навіть невелика зміна ставки помітно впливає на величину множника. У свою чергу дуже великий термін приводить до застрашливих результатів навіть при невеликій процентній ставці. Наприклад, острів Манхеттен, на якому розташована центральна частина Нью-Йорка, був куплений за 24 дол. Вартість землі цього острова через 350 років оцінювалася приблизно в 40 млрд. дол., тобто первісна сума збільшилася в 1,667 х 109 разів! Такий ріст досягається при складній ставці, рівної усього 6,3 % річних.

Очевидно, що дуже висока (інфляційна) процентна ставка може бути застосована тільки для короткого терміну. У противному випадку результат нарощення виявиться безглуздим.

Формула нарощення по складних відсотках (1) отримана для річної процентної ставки і терміну, вимірюваного в роках. Однак її можна застосовувати і при інших періодах нарахування. У цих випадках і означає ставку за один період нарахування (місяць, квартал і т.д.), а п - число таких періодів. Наприклад, якщо і - ставка за півріччя, то n - число півріч і т.д.

Формули (1) - (3) припускають, що відсотки на відсотки нараховуються по тій же ставці, що і при нарахуванні на основну суму боргу. Ускладнимо умови нарахувань відсотків. Нехай відсотки на основний борг нараховуються по ставці і, а відсотки на відсотки - по ставці r ¹ i. В цьому випадку

S = Р + Pi [1 + (1 + r) + (1 + r)2 + ... + (1 + r )n-1]

Ряд у квадратних дужках являє собою геометричну прогресію з першим членом, рівним 1, і знаменником (1 + r). У підсумку маємо

2. Дисконтовані вартості безстрокових ануїтетів

Нагадаємо, що під безстроковою або вічною рентою (perpetuity) розуміється ряд платежів, кількість яких не обмежена - теоретично вона виплачується протягом нескінченного числа років. У практиці іноді зіштовхуються з випадками, коли є смисл вдатися до такої абстракції, наприклад, коли передбачається, що термін потоку платежів дуже великий і конкретно не обмовляється. Прикладом можуть служити деякі види облігацій, або щомісячна виплата пенсії.

Очевидно, що нарощена сума вічної ренти дорівнює нескінченно великій величині. На перший погляд представляється беззмістовним і визначення сучасної вартості такої ренти. Однак це далеко не так. Сучасна величина вічної ренти є скінченна величина, що визначається дуже просто. При п ® ¥ межею для коефіцієнта приведення є a¥ = 1 / і. Відкіля для вічної ренти знаходимо (1):

Таким чином, сучасна вартість вічної ренти залежить тільки від розміру члена ренти і процентної ставки. З (1) випливає:

т. е. член вічної ренти дорівнює відсотку від її капіталізованої вартості.

Неважко переконатися в тім, що віддалені платежі роблять дуже малий вплив на величину коефіцієнта приведення. З ростом п приріст цього показника зменшується. У силу сказаного при великих термінах ренти і високому рівні ставки для визначення сучасної вартості можна скористатися формулою (1) без помітної втрати точності.

Для інших видів рент одержимо:

1. 3. Доходні акції

При розгляді даного питання треба вирішити двох проблем: а) яку ціну - А чи Р на единицу номіналу варто заплатити інвестору за акцію з чистою прибутковістю і річних? б) за умови, що інвестор заплатив ціну А чи Р за одиницю номіналу, який чистий доход він буде одержувати за рік?

Щоб відповісти на запитання а), покладемо А рівної дійсної вартості процентних і капітальних платежів при процентній ставці і річних мінус будь-які податки, виплачувані інвестором, тобто (1):

А = дійсна вартість чистих процентних платежів при процентній ставці і річних + дійсна вартість чистих платежів капіталу при процентній ставці і річних.

Ціною за одиницю номіналу є, звичайно, Р = A / N,

де N - кількість номіналів акції, до якого відносяться платежі.

Щоб відповісти на запитання б), покладемо А в рівності (1) рівній покупній ціні і вирішимо рівняння, що виходить, щодо чистої (нетто) прибутковості . Прибутковість для акцій з фіксованим доходом часто є брутто-річною прибутковістю номіналу, конвертованої по півріччях. Якщо інвестор продає свою акцію до чи викупу якщо він піддається оподатковуванню, його фактична прибутковість у загальному випадку буде відрізнятися від тієї, котра котирується в пресі.

Прибутковість активу іноді називається прибутковістю до викупу, чи викупною прибутковістю, щоб відрізняти її від постійної (чи поточної) прибутковості, обумовленої як D / P - відношення купонної ставки до ціни за одиницю номіналу акції.

Розглянемо акцію, що буде викуповуватися через п років за викупною ціною R за одиницю номіналу. Припустимо, що акція породжує відсотки, виплачувані щорічно простроченням при купонній ставці D річних, і що інвестор, підданий прибутковому податку по ставці t1 купує акцію за ціною Р за одиницю номіналу.

Замість платежу Р інвестор одержує чистий відсоток щороку, рівний D(1 – t1), і виторг при викупі R.. Виходить, його чиста прибутковість і дорівнює такій процентній ставці, для якої (2) буде мати вид:

1. Якщо R = Р, тоді очевидно, що

2. Якщо R > Р, то мається приріст при викупі і тому

3. У даному випадку цей приріст дорівнює R - Р. Якщо інвестор повинний одержувати цей приріст рівними внесками щороку протягом п років, а не окремою сумою після n років, він буде мати деяку перевагу.

У цьому випадку щороку він одержував би D(l – t1) + (R - Р) / п як доход і Р як виторг при викупі, так що його чистий річний доход був би [D(1 – t1) + (R - Р) / п] / Р. Це перевищує i, тому:

4. Утрати при викупі рівні (Р - R). Якщо інвестор буде нести ці втрати рівними внесками щороку протягом п років, а не окремою сумою після п років, він очевидно буде в менш переважному положенні. У цьому випадку щороку він одержував би D(l – t1) - (Р - R) / n як доход і Р як виторг при викупі, так що його чистий річний доход був би [D(1 – t1) - (Р - R) / n] / Р = [D(l – t1) + (R -Р) / n] / Р. Це зменшує і, тому

Таким чином, у всіх випадках і лежить між D(l – t1) / P і [D(1 – t1) + (R - P) / n] / P. Для більшості практичних цілей ці границі достатні для одержання зручних значень при використанні їх для інтерполяції.

Наближене значення процентної ставки з рівняння (2) може бути отримане в такий спосіб. Нехай g = D / R, так що g(l – і1) є чистим річним відсотком на одиницю викупної ціни. Рівняння (2) тепер може бути записане у виді:

З цього рівняння одержуємо (3):

Для перебування наближеного рішення рівняння (3) є багато різних способів. Тут ми розглянемо только апроксимації, засновані на розкладанні Маклорена функції (4):


 

Відкидаючи в рівнянні (3) доданки зі ступенями і вище першої і підставляючи в нього 1 / а одержимо (5)

Ця формула досить точна, коли n і і не дуже великі. Більшої точності звичайно можна досягти, залишаючи в рівнянні (4) доданки зі ступенями і до 2. Рівняння (3) і (11) тоді дають квадратичне рівняння (13)

У практичних обставинах тільки один корінь цього рівняння є придатним; інший корінь помітно відрізняється від значення, що задається рівнянням (5).

2. Практична частина

Задача 4.

Клієнт звернувся до банку за кредитом в розмірі 800,0 тис. гр. од. на 270 днів. Банк погодився надати цей кредит, але тільки за умови, що відсотки (20%) мають бути нараховані та сплачені з суми наданого кредиту на момент його надання. Визначити суму отриманого кредиту та суму, яку потрібно повернути до банку.

РІШЕННЯ.

Розрахуємо суму, яку потрібно повернути до банку через 270 днів.

PV = 800 тис. гр. од.

n = 1/3

млн. гр. од.

49,61 млн. гр. од. потрібно сплатити на момент його надання. У банк після 270 днів треба повернути саме 800 млн. гр. од.

Задача 26.

Визначити, яку суму необхідно помістити на депозит, щоб через 3 роки власник депозиту отримав 4,0 тис. гр. од. при ставці 12%.

РІШЕННЯ:

гр. од.

Відповідь: 2 857, 17 (гр. од.)

Список використаної літератури

1. Бронштейн Е.М. Основи фінансової математики: учб. посібник – Уфа, УГАТУ, 2000

2. Машина Н.І. Вищі фінансові обчислення: навч. посібник – Київ: Центр навчальної літератури, 2003

3. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики: учебн. Пособие – М.: ТОО «Острожье», 2000

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика: учебник – М.: Дело, 2003





Реферат на тему: Дисконтовані вартості безстрокових ануїтетів та дохідні акції (реферат)


Схожі реферати



5ka.at.ua © 2010 - 2016. Всі права застережені. При використанні матеріалів активне посилання на сайт обов'язкове.    
.